含有参数的线性规划问题及其解法

（许兴华数学/选编）（图片由邹老师提供）

含有参数的线性规划问题及其解法

( 湖北省阳新县高级中学 邹生书)

线性规划问题通常是指在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题，其求解方法就是图解法。根据二元不等式组的解与坐标平面内点的对应关系，将约束条件转化为平面区域，然后利用目标函数的几何意义求最优解和最值。线性规划问题将函数、方程、不等式和最值融为一体，将代数与解析几何有机联合，将函数方程、数形结合和化归转化等数学思想深透到问题的解决过程之中，因此线性规划问题成为考查考生能力和综合素养的良好载体。其中含有参数的线性规划问题，对考生能力方面的要求更高，从而使得问题难度大增。

笔者通过统计发现含有参数的线性规划问题在高中较为少见，但在高考模拟考和联考中却风起云涌屡见不鲜，下面主要以模拟考试的题目为例，分类解析这类问题的解法。

1 、 约束条件含有参数

【点评】 二元一次不等式所对应的平面区域是半个平面，其确定方法主要有如下两种方法。

方法一：第一步，画出二元一次不等式所对应的二元一次方程所表示的直线，有等号画成实线，没有等号画成虚线；第二步，在直线外取一特殊点，若这个点的坐标满足不等式，那么这个点和这条直线所确定的半平面就是这个二元一次不等式所确定的平面区域，否则就是另一个半平面。确定区域的口诀是：直线定边界，一点定区域，合则在，不合则不在。

【点评】 解题经验告诉我们：线性规划问题的最值如果存在，若最优解唯一，则最优解必是可行域的某个顶点即为两边界直线的交点，并且取得该最值时的目标函数所表示的直线也经过这个交点，此时形成三线共点的态势。若最优解不唯一，则取得该最值时的目标函数所表示的直线必与某一边界直线重合。以上两点经验直取核心在解决线性规划的最值等有关问题时具有很好的指导作用。

2 、目标函数含有参数 

【点评】 直线斜率与截距的几何意义在上述解题过程中发挥得淋漓尽致，其中斜率几何意义理解不透彻是解题受阻或失败的重要原因。斜率的几何意义要注意如下两点，一是符号，二是绝对值。斜率大于零，函数递增直线上升，斜率小于零，函数递减直线下降。绝对值越大，直线越陡峭，绝对值越小，直线越平坦缓。斜率几何意义全面透彻的理解与应用是解决求最值问题的关键。

3  、目标函数含有双参数 

【作者简介】邹生书，男，1962年12月生，湖北阳新县人。湖北大学数学本科函授毕业，理学士学位，中学高级教师，黄石市高中骨干教师，现任教于阳新县高级中学。主要从事高中数学教学、解题研究和探究性学习等。从2007年开始到现在11年在《数学通报》、《数学通讯》、《数学教学》、《中学数学》、《中学数学研究》、《中学数学教学》、《数学教学研究》、《高中数学教与学》、《中学教研》、《河北理科教学研究》、《数理化学习》、《中学生数学》、《数理天地》等20多种省级和国家级学术期刊上发表教学论文近三百篇。（下图为作者近照）

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