R语言机器学习 | 4 线性判别分析 (LDA)
线性判别分析（linear discriminant analysis, LDA）是一种经典的线性学习方法，也叫作Fisher判别法。
LDA的核心思想是将高维数据投影到较低维空间中。以二分类问题为例，给定一个训练集，将样本点投影到一条直线上，使得类内样本的投影点尽可能接近，不同类样例的投影点尽可能相互远离。换句话说，就是“投影后类内方差最小，类间方差最大”，然后在低维空间进行分类。由于LDA是将数据向低维空间进行投影，因此LDA本身具有降维的属性。下面是LDA分类思想的示意图，其坐标横轴和纵轴代表的是X1和X2两个特征。
线性判别法示意图
要使红色和蓝色数据中心之间的距离尽可能的大，而每一种类别数据的投影点尽可能接近。因此右图比左图的投影效果更好。
上面是一个通用的介绍，下面举一个更加清楚的例子来说明LDA的投影思想（参考自: https://www.youtube.com/watch?v=azXCzI57Yfc）。该数据集的背景是：使用人体两个基因的表达程度来判断某种药对人是否有效，有两个特征：Gene X 和 Gene Y，标签是二分类的有效（绿）和无效（红）。我们要将该二维数据投影到一条直线上，使其更好地在一维空间（直线）上进行区分：
基因和药效数据集示意图
一个不好的投影示范：投影到x轴，相当于只利用单个特征的信息
LDA: 使样本点投影在最佳的直线上，满足投影后类内方差最小，类间方差最大
可以看到，LDA使用了所有特征的信息，建立了一个新的坐标轴（即那根直线），将数据投影到新的坐标轴后，就可以进行最佳的分类！
上面讲的是二分类，而多分类的思想也很相似。以三分类为例，首先要找到所有数据的中心点（如下图），然后使得每一类数据的类内中心点与总中心点距离最远（类间方差最大），与类内样本距离最近（类内方差最小），之后，需要将数据投影到确定两条新的轴来将数据分开。
整个样本的中心点（黑）和三类样本的类内中心点（红、绿、蓝）
三分类LDA利用两条新的坐标轴将数据区分开
以上就是线性判别法LDA的主要思想，之后就是通过数学计算把直线求出来。具体的计算这里就不具体叙述了（实在看了也不会）。
2 LDA的R实现
初识交叉验证——留出法
这一节开始慢慢地介绍交叉验证！交叉验证通常有三种方法：留出法（Hold out）、留一法（LOOCV）和K-fold交叉验证。这里先介绍最简单的一种交叉验证方法（简单到都没交叉），即留出法。
顾名思义，留出法就是不把所有数据都用来训练建模，而是留出一部分数据（少于1/3）作为测试，如将70%的数据作为训练集，30%作为测试集。留出法的思想是用训练集的数据来训练模型，然后用测试集的数据来用该模型进行预测，从而评价模型的表现。
留出法示意图
使用经典的分类数据集鸢尾花（iris）作为示例数据（N=150），该数据集有4个特征：花萼长度(sepal.length)、花萼宽度(sepal.width)、花瓣长度(petal.length)、花瓣宽度(petal.width)，目的是用这些特征来对三个品种的鸢尾花（Y）进行分类。
使用留出法，按照70-30比例将该数据集划分为训练集和测试集：
set.seed(100) #设置种子，使每次抽样固定，便于可重复index <- sample(nrow(iris),0.7*nrow(iris)) #在总样本中抽取70%的样本，将其打上标记，便于之后分组。train <- iris[index,] #把带标记的70%数据作为训练组test <- iris[-index,] #把不带标记的30%数据作为验证组LDA的R实现
接下来进行LDA，使用MASS包中的lda()函数，使用方法和线性回归类似lda(Y~X1+X2...)。使用训练集的数据求出LDA模型之后，利用测试集对来评估模型表现，此时使用predict(model,newdata)进行预测。之后，输出混淆矩阵以评估模型表现，混淆矩阵也可以用热图进行绘制（如pheatmap包）。
library(MASS)library(tidyverse)ld = lda(Species~.,data=train)ld#预测测试集z = predict(ld,newdata = test)(CM = table(test$Species,z$class)) #混淆矩阵CM.z$class是预测的分类结果(Accuracy = sum(diag(CM))/sum(CM)) #模型预测准确率 = 对角线个数（预测正确的个数）/总个数 #利用热图来画混淆矩阵pheatmap::pheatmap(CM,color = colorRampPalette(c("navy", "white", "firebrick3"))(50),cluster_rows = F,cluster_cols = F)看到LDA模型输出了三种类别的先验概率、组均值、两条新的坐标轴系数LD1/LD2等。 从混淆矩阵可以看出，LDA分类器的分类效果很不错，正确率能达到95.6%！
下面画图看看，以新的两条轴（LD1/LD2）为坐标轴之后的分类情况：
#以ld1/ld2为坐标轴的可视化（特征空间）iris.LD = z$x # z$x是ld1/ld2值ggplot(data.frame(iris.LD),aes(x=LD1,y=LD2))+ geom_point(aes(col=test$Species))可以看到新的坐标轴下，三类鸢尾花被较好的区分开来了。
之后，我看了一下JASP的LDA实现，发现JASP输出的除了散点图还有密度图，借助这张图，可以更清晰地说明样本点在两条新坐标轴上的投影情况。
LDA就到这里，最后，由于做法类似，简单看一下二次判别分析(QDA)的实现。QDA的划分边界可以是抛物线，因此也就更为灵活。利用qda()这一函数即可进行二次判别分析，做法与lda没有什么区别。可以看到QDA的效果也不错，准确率为97.78%。
ld3 = qda(Species~.,data=train)pre.qd = predict(ld3,newdata = test)table(test$Species,pre.qd$class)#混淆矩阵LDA的内容到这，由于判别分析的内容较多，故分几次学习。预计下一次学习距离判别法，包括马氏距离和K-最邻近法(KNN)。
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