复杂网络上的Ising模型

章彦博

中科大大四物理系学生，集智活跃分子，对复杂系统感兴趣，喜欢扯淡。

本文将复杂网络与Ising模型结合，使用随机几何图模型，构造复杂网络，并在网络的基础上运行Ising模型。探索了其临界温度，发现临界温度与粒子数具有密切关联。同时发现相邻的集团之间，具有较强的独立性，并做了具体的数值分析。临界温度与独立性包涵了重要的现实意义，对于物质生长、凝聚具有解释效力；对于很多社会问题，也可以基于此模型给出解释 。

引言

事物之间的关联，可以简单地使用网络来表示。网络中的节点，可以表示模型中的个体；而连边则表示其之间的关系。事实证明，大量事物可以用网络表示。但真实世界的网络的结构，与我们常见的渔网般规整的结构不同，也与简单计算机程序随机生成的网络不同。它们大多兼具大的簇系数和小的平均距离1。例如电力网络、社会关系网络、交通网络，皆有此特征23。而相关的学科，例如计算社会学等，则依托此类结构，进行学术研究。近年则发展出一些方法，对网络的拓扑重新构造，从而简化了网络结构，此称为“流形学习”4。复杂网络有多种类型，根据生成其的模型不同而不同，常见的有小世界网络。而此文使用的是一种类似优先连接构成的网络，称为“随机几何图”5。其基本构造方法如下图所示：

初始时，向一个n维空间中投入一点，那么，在此点周围半径r空间内的，接收新点的概率便会增加，具体某一点接收新点的概率正比于其半径r空间内已有点的总和。不断地向其中添加新的点，同时，将距离小于等于r的点都用边连起来，可以得到一个网络6：

上图表示不同时间上，点生长的结果。

此规则可以模拟与空间位置有关的随机连接，例如交通网络、社交网络（属于抽象空间）。在原文之中，作者使用美国东部的电力网络、美国夜空亮度分布，与此网络的点密度比较，得到了非常好的吻合结果：

上图中，规则稍有改变，投入的任意点，有一定概率pp可以被直接接受，以此可以模拟城市生长。将其与实际数据比较，其光度分布吻合得非常好。

此模型可以较好地模拟很多实际结构，而将Ising模型作用在此网络上，则可以得到例如舆情的多样性、变化、交互的过程与动力学。对于基于“从众”规则的社会模型，也有独到的解释。而此模型与很多固体生长过程颇为类似，亦有望使用在此类过程之中。

注意，这里的随机几何图模型并不是小世界网络7，其度分布不是幂率下降的，但密度分布是幂率下降的。其度分布是：

其中

式中，dd是维度，VdVd是dd维球体积之系数，N(t)N(t)是总颗粒数8.

初步结果

算法概述

由于此规则所产生的概率密度分布较为复杂，所以实际的抽样过程，使用两步法，第一步，是使用四叉树将二维点存入各个树枝之中，这样可以快速地查询一个点周边的邻居，且可以很容易地忽略距离太远的点：

对于每一层的每一个节点，都动态地改变其概率权值。然而这样的过程并不完善，需要进一步地进行抽样，这里使用Metroplis方法，进行随机行走，从而最终逼近其概率分布。这里使用前面生成城市的策略，最终的网络如下：

注意到其中有两个集团之间，虽然是相连的，但又有明显的距离，后面会专门构造此类网络进行分析。

之后的Ising模型运算之中，每个点的邻居用链表储存，且它们是等权的。这里的另一个要求是，它们产生的能量也是直接相加，而不是归一化的：

这意味着，更多的邻居会对此点产生更强的影响。这是符合实际的。

Ising模型的初步结果

我们使用橙色代表自旋为1的，蓝色代表自旋为-1的点，并对其做模糊，从而有如下的图像：

可以看到，前面特别注意的两个相邻的点，虽然有连接，但仍然可以保持各自的自旋，在运行足够长时间后，仍然稳定。这里猜测此模型之中，可能不会出现各态历经，而是类似于玻璃态的情况。

邻近相连集团的关联性分析

如前面所述，邻近且相连的集团之间，其行为与一般的Ising模型不同，虽然有相互作用，但仍然能保持各自的自旋，这里特别构造出理想结构，进行分析。

在TcTc以下，此处取J/kT=1.0J/kT=1.0，先在(0.4,,0.5)(0.4,,0.5)与(0.6,,0.5)(0.6,,0.5)处设定一些点，以使得最终生长出两个邻近且有相互作用的集团。经过选择随机数种子，得到了如下的生长结果：

其密度图如下所示：

经过数值计算，两边的集团体量是均等的。这样，对于每一次Ising模型的模拟，都使用此图，那么两个计算最终的自旋只有如下四种情形：

对其进行10000次随机模拟，可以得到上面四种情形的分布。其结果如下：

可以看到，各个情形的数值，基本在0.25左右。有些许偏移，但与一般模型下的Ising模型差别非常大，从而，从相关性的角度来看，邻近集团各自的自旋，相关性很低，可以看做近独立的。

若从理论出发，定性地分析，可以将各个集团核心区域看做高维空间的Ising模型，从实际数据来看，中心附近的点，其连边数n∼100n∼100，而等效的维度d=n/2，从而，其中心部分维度可以近似的等效为一个几十维空间的Ising模型，这时其临界温度很高，而对于外界干扰的稳定性也很强。从另一个角度出发，假设一方的自旋“侵入”另一方，而这个模型中，边缘点的度比中心点的度要少，那么“侵入”的自旋，从概率上，是难以敌过核心区“更固执的自旋”的。

从能量来分析，其分界处，粒子的连边数较少，翻转所需的能量最少，故在此模型中，分界处的变化最丰富。但若要让另一边也发生翻转，则需越过一个能量高峰，这在低温时是无法达到的。

下面考虑单个集团的行为。

单个集团的行为

对于此网络的性质，从单个集团开始分析是比较简单与方便的。

定义磁化率：

对不同的温度进行计算，在总点数N=3000,,2000,,1000N=3000,,2000,,1000的情况下，其m−Tm−T曲线如下：

可以明显地发现，其有临界相变现象，但阈值各不相同，与总点数N相关。其趋势是N越大，T越大。而从引言中给出的度分布，也可以看出，随着总点数的增加，其平均度是增加的。下图选取了几个典型的温度，在N=2000时迭代100次后的结果：

从上面来看，图中仍然有一些稳定的细节，这是因为点密度不同的区域，其临界温度是不一样的，有可能在温度很高的情形下，依旧能够保持其自旋的稳定。

讨论

此模型具有实际之意义，首先是对真实的社交网络行为，可以进行一定程度的模拟（Barabási的优先连接实现的条件是，新进入的节点能获得所有其他点的信息，这是难以做到的）。而使用Ising模型后，其中的一些行为也是值得研究的。

首先是邻近集团具有较强的独立性，这意味着，只要集团核心区域的密度比邻近地区密度大一些，两者就可以保持独立。这在一些化学生长过程中，可以解释一些具体的行为。而对于我国南方地区，方言的分布也有解释意义。

对于其临界温度，可以看到其与总粒子数密切相关。临界温度越高，意味着越有可能发生自发的磁化。对于之前的城市模型来说，若点越密集，越可能发生“同质化”的现象，核心的影响力亦越大。同时，也暗示了进入连接密度高的社群的个体，更容易受到此社群的影响。

目前的研究还处于非常初步的阶段。首先，对于温度、外场综合的研究尚未完成；其次，计算机模拟的次数较少，算得的一些值的精度不高。另一个方面，为了体现其现实意义，当需与真实的数据做出一些比较。这三个方面，若今后想进一步推进此研究，是可以继续探索的。

参考文献

1. 周涛, 柏文洁, 汪秉宏, 刘之景, and 严钢, “复杂网络研究概述,” PHYSICS, vol. 34, no. 1,pp. 31–36, 2005. [Online]. Available:http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical/wl200501007 

2. 周涛, 柏文洁, 汪秉宏, 刘之景, and 严钢, “复杂网络研究概述,” PHYSICS, vol. 34, no. 1,pp. 31–36, 2005. [Online]. Available:http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical/wl200501007 

3. A.-L. Barabási and R. Albert, “Emergence of Scaling in Random Networks,” Science,vol. 286, no. 5439, pp. 509–512, Oct. 1999. [Online]. Available:http://www.sciencemag.org/content/286/5439/509 

4. D. Brockmann and D. Helbing, “The Hidden Geometry of Complex & Network-Driven Contagion Phenomena,” Science, vol. 342,no.6164, pp. 1337–1342, Dec. 2013. [Online]. Available: http://www.sciencemag.org/cgi/doi/10.1126/science.1245200 

5. J. Zhang, X. Li, X. Wang, W.-X. Wang, and L. Wu, “Scaling behaviours in the growth of networked systems and their geometric origins,” Scientific Reports, vol. 5, p. 9767,Apr. 2015. [Online]. Available: http://www.nature.com/doifinder/10.1038/srep09767 

6. J. Zhang, “Growing Random Geometric Graph Models of Super-linear Scaling Law,” ArXiv eprints, Dec. 2012. 

7. D. Brockmann and D. Helbing, “The Hidden Geometry of Complex & Network-Driven Contagion Phenomena,” Science, vol. 342,no.6164, pp. 1337–1342, Dec. 2013. [Online]. Available: http://www.sciencemag.org/cgi/doi/10.1126/science.1245200 

8. J. Zhang, X. Li, X. Wang, W.-X. Wang, and L. Wu, “Scaling behaviours in the growth of networked systems and their geometric origins,” Scientific Reports, vol. 5, p. 9767,Apr. 2015. [Online]. Available: http://www.nature.com/doifinder/10.1038/srep09767 

本文编辑：井静宜

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