网络、几何与物理：层级、长程关联与局域化 | 章彦博

本文简述今年参加「集智 网络、几何与机器学习」研读营/会议的收获。会议的背景与其他感受，可见后记。

我认为此次会议的核心，在于「几何」。不同的学科，通过「几何」这一平台，优雅地整合到了一起。这在我看来，是最为重要的事情——科研的审美，可能有着与科研能力同等重要的地位。而「几何、网络、衍生宇宙」这些概念的优雅关联，则给出了一个非常好的典范。

先聊些其他的

 图一、庞加莱平面

在我看来，双曲几何之所以在会议中（以及实际的科研中），有着这么多优美的性质，在于下面三点：

自然的层级结构；

它是一个局域化的空间；

它是连续的。

「层级」这一概念，在自然科学中，常有提及。Anderson的《More is Different》，也明确提出了这一概念。一般的描述之中，「层级」结构，都是以网络的形式出现的。而在双曲几何之中，它将层级——一个不连续的描述，使用连续、解析的数学语言，进行表述。

图二、庞加莱平面的一种「规整」的表示，其实是五边形拼贴

此图很好地展现了双曲几何自带的层级结构。来源：James W. Cannon, William J. Floyd, Richard Kenyon, and Walter R. Parry, Hyperbolic Geometry, MSRI Publications, Volum 31, 1997.

在我看来，这是双曲几何拥有诸多性质的根源。我无意对「连续」、「离散」两种理解世界的方式作出「谁更真实」的评判，但不可否认的是：对于连续的结构，数学上有更多较为简单的工具可以处理之。 

故而在双曲几何之中，可以非常自然的产生「重整化」；从局域化的规则之中，很容易产生长程的关联。而一些基于离散空间的科学，也可以从双曲几何得到启发。

比如：近年有人使用穷举图灵机的方法，逼近一维、二维结构的Kolmogorov复杂度，并认为穷举所得的字串分布是一种「Universal Distribution」，然而很容易看出来，自然界的一些大尺度规则，其相互作用，都同时包含了局域与长程的相互作用。使用有限的图灵机来计算「Universal Distribution」，可能会产生很大的整体偏差。而若考虑运行在庞加莱平面上的图灵机（如图二），似乎可以解决这个问题。

而几何所带来的另一个启发，便是「要注意局域化」。局域化是两个限制所带来的：一是信息传递的速度限制；二是能量的限制。

信息之传递速度有限，比如真空中的光速、物质中的声速，进而，由这些信息产生的相互作用，也只在有限的区域里发生。就如光锥一样。第二个是能量的限制，全局的规则对于能量的消耗通常是很大的，比如Barabási的优先连接，意味着一个新节点几乎要了解系统所有其他节点的度（当然，如果从统计的角度理解，可以不需要知道所有节点的度）。这两个限制，都是普适且长久的。

进而，「要注意局域化」这一启示，也当是普适的。流形学习、Word2Vec、卷积神经网络，都或多或少地暗含、或直接使用了这一思想。而空间，不论是欧氏还是非欧的空间，都是实现局域化的重要「平台」。

 物理与机器学习

另一个使我印象深刻的内容，则是「机器学习-统计推断-统计物理」三者之间的紧密联系。其具体的细节，也颇为精妙，但步骤繁多，不宜在此处详述。只言其大略。

物理学的规律，其描述方式各有不同，有两种模式在这里值得注意：

一、无目的的描述；

二、有目的的描述。 

所谓「无目的」的描述，即如牛顿力学一般，F=ma，没有去追求「优化」、「最大化」、「最小化」某物。看起来很自然——「不偏不倚」，没有人为的「目的」在其中。

而所谓「有目的」的描述，则如拉格朗日力学，考虑作用量的最小化。虽然它们是等价的，但与统计推断、机器学习等其他学科的关联上，其程度是不一样的。而统计物理与统计推断最直接的关联，就是从两种描述出发：考虑一个物理过程「有目的」的描述，从而完成人所需要的目的。

顺便提一句：会议中途，曾偶尔提到「使用直接的物理过程，代替复杂计算」的思想，比如用多层光栅实现深度神经网络；用膜结构计算空间场，等方法。这些思想也非常有意思，但与上边所说不同，这里用的思想就是很直接的「等价」。

后记

这是我第二次参与集智俱乐部的线下活动，也是第二次参与学术会议。其中所需的背景知识，颇为繁多，未能全部理解（自己做的一个「知识图谱」请点击阅读原文），但也给出了我未来学习的大略方向与内容，「虽不中，亦不远矣」。

如同我开头提到的，这次会议的议题，都具有很高的审美水平，我谓之「科学审美」。这个「科学审美」，似乎可以避免我们陷入「平庸」的议题，同时又能在探索的过程中带来源源不断的快乐——提高知识水平、提升科学审美，将是我将来学习过程中的重要主题。

会议所在地，古北水镇，出北京城东北一百公里。建筑皆仿江南水镇，临水而居，各处建筑风格杂糅，与江南古镇相比，又有一番意趣。

平日会议，皆在酒店之中举行，不需要外出。然而每日傍晚时分，在街巷之中，长城之上，探讨科学问题，「敏感而放松」。虽然是个小会议，但氛围与环境，未必不比国际大会。

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