巴拉巴西组 Nature Physics 刊文，发现网络折叠与弹性能量的线性关系
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论文题目：
Isotopy and energy of physical networks
论文地址：
https://www.nature.com/articles/s41567-020-1029-z
一般来说，网络结构特征是有邻接矩阵所决定的，但在大脑、血管等物理网络中，网络的三维空间布局也会影响系统的结构和功能。目前的研究仍然缺乏足够工具，来区分连边结构相同但几何布局不同的物理网络。
为了解决这一问题，Barabási等人引入网络同痕（network isotopy）概念，表示在没有交叉连接的情况下，可以相互转换的不同的网络布局。这项研究还表明，图的连接数量（graph linking number，GLN）作为一个独立的量，能捕捉到连边布局的复杂缠结，因此可以用图的连接数量定义不同的网络同痕。
进一步还发现，一个网络的弹性能，线性依赖于图的连接数，这表明每个局部的纠缠对总能量的贡献是独立的。基于此，Barabási等人建立了一个物理网络中缠结（tangles）形成的统计模型，并应用于真实的物理网络（老鼠的脑网络），发现当基于最优布线时，老鼠脑网络连接比预计的纠缠程度更强。
网络的拓扑结构示意图
上图中，左图和中图从连接上来看，是同一个图，而右图中，由于红边的加入，网络的连接结构改变了。然而，左图和中图的两个网络，其中存储在材料或物理系统的配置中的机械势能是不同的，这反映了仅仅描述物理网络的连接模式，不考虑拓扑结构，无法准确地说明网络包含的弹性能。
网络中的环状结构示意图
为了应对这个问题，该研究考虑网络中的连边，多少形成了多少个环状结构（graph linking number ）。上图右图分别展示了同样连接的网络，在图连接数为1和2时的情况。
网络中所有对的环包含的连边总数和总弹性能的关系
研究者进一步拓展“图连接数（GLN）”的概念，用()表示具有维嵌入的网络的图连接数。上图显示了，图中的不同拓扑同痕的网络，随着其()增加，具有越来越高的弹性能。
不同结构的网络中，G值和网络弹性能的散点图
在两种模拟的网络结构（ER模型，BA模型）和两种真实网络结构（3D 方形晶格网络和调味剂化学成分共享网络）中，图连接数和网络弹性能也呈现了线性对应。这项研究引入的值，使得研究者可以在描述物理网络时，系统化地对比不同拓扑结构网络的纠缠程度及弹性能的不同。
老鼠大脑神经元连接网络，在不同温度下的G值分布
之前的分析表明，值能够鲁棒地描述物理网络中连边纠缠的情况。研究者用该指标，针对老鼠大脑的神经元连接网络，进行描述。可以得到图a，左右分别为不同的网络投影方式。图b展示了当不同温度时，神经元连接网络及其对应的值。随着温度的上升，网络中的节点积聚了更多的弹性能，对应着值的升高。
老鼠神经元连接网络在不同温度下的值分布
而在上图c和图d中绿色的代表的是室温情况下，不同网络连接对应的值和总弹性能的概率分布。图中的虚线，代表真实的老鼠大脑对应的值和总弹性能，通过引入值，该研究发现，老鼠大脑的纠缠程度，超过了最经济的网络布局对于的纠缠程度。
在论文最后，Barabási等人认为，引入图连接数的概念，使得我们可以系统地比较不同的网络布局，并确定物理网络的弹性能。基于同痕网络的弹性能，我们可以建立统计物理模型，进而利用单一参数推导出系统的布局特征。
这项工作表明，正常大脑表现出一定的布局可变性。如果有更多的真实大脑数据，就可以通过实验证实这一点。诸如精神分裂之类的疾病与轴突束的异常有关，这表明量化特定脑区的布局变化，可能为确定健康脑组织和患病脑组织之间的结构差异提供途径，这有助于诊断，并使我们能够量化物理网络的潜在恢复力。
这项工作的结果也表明，如果我们能将一些困难的网络优化问题映射到拓扑学中的问题，就可以简化这些优化问题，反之亦然。使用梯度下降法的力导向网络布局，类似于网络上的扰动扩散过程，可以帮助我们探索网络上的优化过程和拓扑不变量的关系，或者描述网络上的动态过程和控制过程。
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