人人可学的范畴论——跨领域的科学方法论 | 精品入门系列课

导语

范畴论是一个研究结构的理论，提供了一种系统、精确、抽象的跨领域科学方法论，可直接付诸于各领域考察的问题，寻求跨领域的解决之道。这种数学语言与复杂性科学有众多相似之处，加之其本身作为数学工具的严密性，后续可能能为解决复杂性科学问题提供一把钥匙。

为了让大家了解范畴论这样一门现代数学语言，克服传统学习范畴论抽象和对前置知识的障碍，集智学园特邀一位正在尝试教中学生范畴论的J-CAT猫圈老师开课，筹划了“集智范畴论入门系列课程”。希望这门课程可以帮助大家破除门槛，顺利入门。此系列课程为周更课程，每周日中午12点更新，首次开放四节，欢迎对范畴论感兴趣的朋友报名加入课程。

特别提醒：我们也为大家提供了交流的微信群，请报名的小伙伴，在报名页面，找到并添加助教微信哦，期待你的加入。

范畴论提供了系统、精确、抽象的跨领域科学方法论。不同知识领域的问题按照特定的范畴来组织，范畴论通过函子来连接不同领域的不同范畴，实现跨领域的研究。函子把源范畴的结构映射到目标范畴。复杂的范畴可能转化到简单的范畴，陌生的范畴可能转化到熟悉的领域中的范畴，抽象的范畴可能转化到易于计算的范畴。

范畴论尽可能地用函子来构造这种跨范畴的联系，构造一个好的函子，把原有领域范畴重要的结构信息，更多地保持到目标范畴中。具体构造时就需要特定领域的知识了。

在范畴论发明前，并没有系统化的跨领域联系的方法论，许多科学的进展都依靠科学家天才的联想能力。比如 Galois 对群和域这两个范畴的联想，促进了数论和群论的大幅发展。如今在范畴论中这种联想系统化地发展成为了 Galois 连接。

与自然语言描述为主的科学哲学不同，范畴论是数学领域抽象程度的顶峰，是可以以公式或者其它数学表达方式明确指导具体研究的。学习范畴论的过程，也是在体验系统、精确、抽象的科学方法论。理解范畴论促进学科联系的过程，并付诸各领域考察的问题，有望寻找到跨领域的解决之道。

范畴论何以诞生并发展

范畴论诞生于 20 世纪 40 年代，背景是人们试图用更简单的代数方法来解决一个困难的拓扑问题。

上世纪初几何学的发展亟待为拓扑学注入新的思想。

• Henri Poincaré 流形的组合不变量
• Emmy Noether & Heinz Hopf 把组合拓扑学建立在新兴的群论上：同调群
• Henri Poincaré & Heinz Hopf 基本群、同伦理论
• Henri Cartan & Samuel Eilenberg 同调代数、模范畴、导出函子

• Samuel Eilenberg & Saunders Mac Lane 拓扑中的同调理论用于群上同调

Saunders Mac Lane将这些工作整合为范畴论，许多名家在自己的领域用范畴论的方法开拓疆土，反过来又促进了范畴论的发展。

• Nobuo Yoneda 米田信夫：米田引理
• Alexander Grothendieck 在代数几何中系统发展了Abel范畴和层上同调、topos理论、Grothendieck拓扑
• Daniel Kan 扩张
• Jean Leray 层理论
• Daniel Quillen 同伦理论

• William Lawvere 范畴化的逻辑、topos理论。

如今，当代范畴论研究遍地开花。

范畴论目前的研究状况及潜在应用方向

• Jacob Lurie：高阶topos
• Emily Riehl：无穷范畴
• John Baez：拓扑量子场论
• Guerino Mazzola：用范畴论研究音乐学
• Bartosz Milewski：函数式编程

• David Spivak：范畴化的建模方法

数十年前，范畴论在代数学家和拓扑学家的小圈子里，也有“抽象的废话(abstract nonsense)”的“声誉”。Mac Lane 经典的范畴论教材 Categories for the Working Mathematician (GTM系列，数学工作者必知的范畴学，世界图书出版公司有影印版) ，更被黑为“代数学家的范畴学”，言下之意其抽象程度也只有数学领域最抽象的代数学家才能学会。

数十年后，新颖的数学教材和专著，纷纷以范畴论替代集合论，作为建立领域知识体系的基础。许多数学界的研究人员放下了历史包袱，愿意在自己的研究领域体会范畴论的思想，在代数几何、数论、乃至分析等方面开拓疆土。不仅如此，物理学家、计算机科学家、语言学家、系统学家等也纷纷投入范畴论在各自领域的应用中。

如今，范畴论早已不是外界所认为的带有神秘色彩的智力游戏。在计算机领域，编程中的函数问题被巧妙地转化为范畴论中的态射问题，讨论编程如同讨论一个集合上的映射。用范畴论的思想审视上世纪 50 年代的 LISP，以及更早的 30 年代 Alonzo Church 提出的 lambda 演算、Alan Turing 的计算理论，推动了函数式编程 (functional programming) 的革命，新的函数式编程的思想在最近几年广泛地体现在流行的JS、Java、Python、C# 等语言的新版本中，许多新生的工具大幅度降低了开发的冗余度、简化了计算系统的规模，这些工具背后都有范畴论的指导思想。

课程安排

我们的集智范畴论系列课程暂定为两季。现在启动的是第一季课程，首次上线 4 节课程，后续每周更新一节，直至更新完毕。

为了适应广大非数学专业爱好者的需要，第一季尽量从较低的起点出发，在补充具体的数学知识过程中，让学员熟悉范畴化的思维方式，为理解抽象的范畴论概念积累实例。第一季完成后，学员将能够了解范畴论的基本知识，包括范畴、函子、对偶、极限，并且在代数、拓扑等方面有范畴论角度的理解。第二季则在前面的基础上，更加侧重用专业的方式展开更高层次的范畴论知识。第二季完成后，学员将能够了解范畴论中的函子范畴、可表函子、伴随函子等较为抽象的概念，并且能够熟悉张量、同调、层等概念的范畴化表述。

完成本课程，可以没有障碍地了解现代代数、拓扑、范畴等领域的许多基本概念，为进一步的学习和结合自我兴趣的研究打下基础。更重要的是可以理解范畴论的思维方式，掌握创新的工具。

通行的范畴论教学方式是面向数学专业高年级本科生、研究所和科研人员的，入手的门槛较高。考虑到范畴论爱好者的起点，我们采用了不一样的教学方案。在第一季中，最初，我们会在集合和线性代数这两个分支中提取类似的问题，用范畴论来给出统一的描述，让学员感受到范畴论的思维方式和抽象能力（第 1 课）。之后我们会展开讲集合相关的范畴、代数相关的范畴，一边了解范畴论的概念，一边在具体的数学问题中积累例子，同时掌握具体的代数结构，如群、环、模、线性空间等（第2、3、4课）。进而我们会着重谈线性结构中体现的范畴。矩阵是天生具有行列对偶性的数学结构，讨论矩阵可以自然地引出许多范畴论的概念（第5、6、7、8课）。此外我们还会在集合的基础上引出拓扑，并且用范畴的方式介绍如何将拓扑这样的几何问题转化到同调群这样的代数范畴去解决（第9、10、11、12课）。

第一季课程大纲

1. 线性代数——范畴的视角

2. 集合范畴和等价关系

3. 偏序集范畴

4. Abel群范畴

5. 线性空间的范畴化构造

6. Hom函子

7. 线性空间的对偶性

8. 正向极限与逆向极限

9. 正合

10. 从集合到拓扑空间

11. 自由函子

12. 从几何到代数——同调群的构造

第二季课程大纲（暂拟）

1. 张量代数

2. Abel范畴

3. 层——函子化地构造几何学

4. 函子范畴

5. 可表函子

6. 伴随函子

7. 幺半范畴

8. Kan扩张

9. Topos

10. 高阶范畴

集智范畴论课程讲师

J-CAT猫圈

教育法尝试者，同时给小学、中学、大学、研究生、科研人员授课，寻找从基础到前沿的最短路径。

研究兴趣包括：范畴论、动力系统、人工智能。

课程目的

为初学者，特别是非数学专业背景的系统、信息研究者提供一个起点低、水平高、观点新的范畴论基础课程。

课程适用对象

如果您满足以下任意条件，欢迎你加入我们，学习范畴论！

• 对现代数学体系和方法论有兴趣
• 具有专业的数学训练，希望了解范畴论，从新的角度研究的科研工作者
• 有高等代数/线性代数背景的大学生、研究生、科研工作者
• 希望了解范畴论的思维方式

• 有兴趣的中学生

对学员的基础要求

本课程旨在尽可能降低范畴论的学习起点。

学员只需对高等代数/线性代数中的线性空间、线性映射、矩阵运算有基本了解，通过课程的学习即可入门范畴论。

范畴论相关参考资料

参考书籍

范畴论是新生的前沿数学。数十年前的数学专著往往从集合开始展开，而现在的趋势是许多数学领域都是从范畴作为起步的章节。遗憾的是，目前为止并没有中文方面优秀的范畴论教材或专著。

下面列出的参考书籍对于非数学专业人士而言均有一定的门槛。我们列举这些书籍是为了方便延伸到具体的数学领域，但不主张直接以这些书籍自学，这些书籍也并非本课程学习所必需的。通过本系列的课程，从比较低的起点完成了范畴论的入门环节后，再根据自身兴趣研习会有事半功倍的效果。届时再看这些书籍，如果有豁然开朗的感觉，便体现了本课程的宗旨。

• [黎景辉2014] 高等线性代数学。本书以线性代数的思维主线，从矩阵的具体运算发展到抽象代数中的模和模范畴，引入同调代数的方法，最后以范畴论结束。本书以较高的视角重新审视基础的线性代数，需要读者对线性代数、抽象代数有所温习。

• [李文威2019] 代数学方法(卷一：基础架构)。本书是中文出版观点较为现代的代数学教程，全书贯穿了范畴论的思维方式。对于初学者本书有一定难度，可配合市面上常见的大学代数教材一起学习。

• [Aluffi2009] Algebra: Chapter 0. 本书是颇受好评的以现代数学观念讲授大学代数的教材，在讲授代数的同时也引入了范畴论的方法。篇幅和详细程度也适合系统性的学习。

• [Anderson1992] Rings and Categories of Modules（有汉译）。本书是GTM系列的一本，适合已经有大学代数基础，希望进一步学习同调代数和范畴论的读者。本书联系了先修的线性代数、环和模理论，以及后继的更加抽象的范畴论。在学习范畴论过程中，如果感到缺乏实例的支持，可以回到本书中以具体的实例来理解。

以下列出若干拓扑学教程，特色都是以范畴化的方式讲解。

• [May1999] A Concise Course in Algebraic Topology.

• [Dieck2008] Algebraic Topology.

• [Spanier1981] Alebraic Topology.

范畴论入门参考书籍：

• [Harold Simmons2011] An Introduction to Category Theory

• [Marco Grandis2018]  Category Theory and Applications: A Textbook for Beginners

观点较为新的可参考：

• [Spivak2014] Category Theory for the Sciences

• [Riehl2016] Category theory in context

• [KuśMarek2019] Category Theory in Physics, Mathematics, and Philosophy

参考论文

• Maruyama Y. Category theory and foundations of life science: A structuralist perspective on cognition[J]. Biosystems, 2021, 203: 104376.
• Riehl E, Verity D. Elements of∞-category theory[J]. Preprint available at www. math. jhu. edu/~ eriehl/elements.pdf, 2018.
• Leinster T. Basic category theory[J]. arXiv preprint arXiv:1612.09375, 2016.
• Smith P. Category theory: a gentle introduction[J]. 2016.
• Linnebo Ø, Pettigrew R. Category theory as an autonomous foundation[J]. Philosophia Mathematica, 2011, 19(3): 227-254.
• Blute R, Scott P. Category theory for linear logicians[J]. Linear logic in computer science, 2004, 316: 3-65.
• Fuchs J, Schweigert C. Category theory for conformal boundary conditions[J]. Fields Institute Commun, 2003, 39: 25.

• Feferman S. Categorical foundations and foundations of category theory[M]//Logic, foundations of mathematics, and computability theory. Springer, Dordrecht, 1977: 149-169.

报名须知

一、学费

本次课程学费 499 元。（可开发票）

二、参与形式

此次系列课程为周更课程，共计 12 节，每周日中午 12 点更新。可通过访问课程链接看课。

课程链接：https://campus.swarma.org/course/2723

说明：可能会有加更课程哦~

三、报名途径

点击下方二维码购买课程：

扫码付费报名课程

支付宝与微信支付均可付费。付费后，请在课程详情页面，扫码二维码填写“学员登记表”，填表结束后，会弹出课程助教微信二维码，添加助教微信，即可加入课程交流群，与老师同学互动。本课程可开发票。

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