Nature Phycics：复杂网络中高阶相互作用的物理学

导语

对相互作用系统的动力学进行建模，如今的常用工具是复杂网络。但它只能包含节点间的两两互动，无法反映现实中多个节点间的高阶相互作用。10月4日，Nature Physics 的评论文章“复杂系统中高阶相互作用的物理学”，展示了如何使用超图（hypergraph）和单纯复形（simplicial complexe）等工具，对相互作用系统的爆发性行为、拓扑动态变化进行建模。

研究领域：高阶相互作用，高阶网络，超图，单纯复形，网络动力学

郭瑞东 | 作者

陈关荣、梁金 | 审校

邓一雪 | 编辑

论文题目：

The physics of higher-order interactions in complex systems

论文链接：

https://www.nature.com/articles/s41567-021-01371-4

1. 何为高阶相互作用？

生态系统中的多个物种如何产生相互作用，社交网络中迷因如何传播，大脑中神经元如何连接，复杂网络对理解我们日常生活中遇到的这些互动现象都有帮助。然而，网络中的边只包含两个节点，但现实中的互动却往往涉及多个参与者。

例如谣言的传播，一个人说的时候别人是不信的，若是两个人先后传播同一个信息，就很容易让别人相信——这就是所谓的高阶相互作用。下图中（a）是简单的网络，只包含两两相互作用的节点。（b）中的超图可以表示任意数量节点之间的相互作用，其中包含了一组节点的阴影表示超边。（c）中的单纯复形是表示高阶相互作用的另一种方式。传统图中的边称为 1-simplex，三角形为2-simplex，代表这三个节点中两两之间的相互作用。

图1. 简单网络、超图、单纯复形对比图

之前的文献从渗流[1,2]、同步[3,4]、社交传染[5,6]、进化过程[7]进行过论述，说明高阶相互作用会对系统动力学会产生显著影响。接下来，我们将具体讨论引入高阶相互作用对复杂系统的演化建模带来的两个助力：一是高阶相互作用带来的非线性会导致爆发性转变（explosive transition），二是可以探索系统拓扑结构的动态变化。此外，如何从节点间相互作用的观察数据推断出高阶相互作用的存在，目前仍然是一个开放问题。

2. 高阶相互作用导致爆发性转变

复杂系统中的爆发现象是系统演化中的一个研究热点，对应的现象包括流行病的传播、萤火虫的同步闪烁等。然而在简单网络上复现爆发性的突变需要引入额外的规则，例如让包含异质性的网络中节点震荡的频率与节点的度数相关，如此就能够使网络中的同步现象呈现爆发性转变。

上述模型描述的爆发现象，其变化是连续的。但现实中的爆发现象，其系统的演变却可以表现得非连续。我们可以通过让一个节点受到其他几个节点状态的非线性组合的影响，来引入高阶相互作用。如图2所示，当高阶相互作用的强度突破临界值后，系统的宏观状态（纵轴）会发生非连续突变；但当高阶相互作用较弱时，宏观状态不会出现非连续突变。

图2. 高阶相互作用对系统爆发性行为的影响

在不同问题建模中都可以引入高阶相互作用。例如疾病传播模型，将节点分为感染者（Infectious node）和易感者（Susceptible node）。易感人群既可以通过边被感染者感染，也可以受到多个感染者组成的群体感染（图3a）。图3b描述的是日本物理学家藏本由纪（Yoshiki Kuramoto）提出的耦合振子同步问题。两种现象中，引入高阶互动后，能够用更细的粒度去描述系统中的非线性反馈。

图3.（a）疾病传播（b）耦合振子同步场景下的高阶相互作用

对疾病传播的高阶建模，只需要引入三个节点间的相互作用，就可以重现一个包含疾病爆发与否这种双稳定态（bistability）的系统，上述结论是鲁棒且普适的，不仅适用于对疾病传播，也适用于对渗流现象建模。在振子同步中，高阶相互作用的引入可以在不增加额外规则时，让系统的演化呈现出双稳态以及滞后循环（hysteresis cycle）。

尽管缺少严格的证明，但已有证据表明，在诸多截然不同的系统中，引入非线性的高阶相互作用并改变其强度，是促成爆发性转变的通用机制。在两两之间的相互作用中，引入异质性（例如通过高阶相互作用），可以促成临界行为从连续转为非连续。

3. 探索网络拓扑结构的动态演化

在引入了超图和单纯复形后，系统中各个部分的相互作用将不仅由连边描述，还能通过超边或 n-simplex 来描述。这使得某一条边的状态可以受到多个节点的集合的影响，并同时对多条边产生影响。如此，就可以在模型中引入相互依赖和反馈。

例如下图的振子同步问题，在引入高阶相互作用时，模型需要描述的不仅是每个点的状态，还有高阶连接的改变情况。在该场景中，节点间的成对相互作用，不仅仅体现在对应图中的边的状态，还包括了 2-simplex 上的圈的状态，边上的红色圈点指的是两者之间的边界条件。系统在演化时，同步现象会由高阶连接的部分扩散到低阶连接的部分（图b）；或者相反，由低阶部分扩散到高阶部分（图c）。

图4. 振子同步在引入高阶相互作用后，同步现象自发由高阶向低阶，或由低阶向高阶投影（projection）

以上展示的，启示了高阶相互作用引入后能够探索的另一问题，即网络的拓扑结构如何随时间演化。目前常用的方法，是将高阶相互作用投射成两两之间的互动，以及通过拉普拉斯矩阵变化来对时间序列数据进行处理。

4. 从观测数据中重构高阶相互作用网络

一个更为基础的问题，是如何从观测数据中推断出高阶相互作用的存在。即使系统中存在高阶相互作用，但观察到的数据却往往是两两节点之间的。例如A从B处听到了一则谣言，但它可能是从B之前其他人那里传来的。如何根据时间序列推测高阶相互作用的存在呢？

简单假设三个节点之间的相互作用总是存在，这并不是一个好的做法。通过贝叶斯推断或者统计模型中的零假设，用证据说明其存在，是重构高阶相互作用网络的两种常用方法。

图5. 从间接的时间序列中重构高阶相互作用网络

除了直接观测到的相互影响事件，还可以通过系统的状态随时间的改变，来推断是否存在高阶相互作用，例如节点间是否存在同步，是否有相关性等。然而，这类方法不能区分相关性和因果性。节点间的状态共同变化，不一定意味着两者之间存在相互作用，而节点间没有连通的边，也仍然可能存在相互运动。基于信息论的方法，例如 Granger 因果性和转移熵等，也可用来判定节点之间是否存在相互作用。

5. 未来的研究方向展望

当前的模型，都假设高阶相互作用出现与否不会随时间而改变。如何在模型中加入变化的高阶相互作用，是未来的一个研究方向。此外，对于已有问题，例如振子网络的相变，在建模中加入高阶相互作用，可以对其动力学的演化给出更清楚的描述。

总结来看，对于复杂系统的建模，引入高阶相互作用，可以在众多场景（包括多层网络、非马尔可夫时序网络）中，对更为贴近现实的相互作用进行描述，从而在仿真实验中复现出之前模型无法重现的现象。在克服了数据收集和网络重构的障碍后，可以让复杂网络的应用范围进一步扩大。

参考文献

[1] Schaub, M. T., Benson, A. R., Horn, P., Lippner, G. & Jadbabaie, A. Random walks on simplicial complexes and the normalized Hodge Laplacian. SIAM Rev. 62, 353–391 (2020).

[2] Carletti, T., Battiston, F., Cencetti, G. & Fanelli, D. Random walks on hypergraphs. Phys. Rev. E 101, 022308 (2020)

[3] Millán, A. P., Torres, J. J. & Bianconi, G. Synchronization in network geometries with fnite spectral dimension. Phys. Rev. E 99, 022307 (2019).

[4] Skardal, P. S. & Arenas, A. Abrupt desynchronization and extensive multistability in globally coupled oscillator simplexes. Phys. Rev. Lett. 122, 248301 (2019).

[5] Iacopini, I., Petri, G., Barrat, A. & Latora, V. Simplicial models of social contagion. Nat. Commun. 10, 2485 (2019)

[6] de Arruda, G. F., Petri, G. & Moreno, Y. Social contagion models on hypergraphs. Phys. Rev. Res. 2, 023032 (2020)

[7] Alvarez-Rodriguez, U. et al. Evolutionary dynamics of higher-order interactions in social networks. Nat. Hum. Behav. 5, 586–595 (2021)

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