豪斯多夫维数：怎样度量分形 | 集智百科

“集智百科精选”是一个长期专栏，持续为大家推送复杂性科学相关的基本概念和资源信息。作为集智俱乐部的开源科学项目，集智百科希望打造复杂性科学领域最全面的百科全书，欢迎对复杂性科学感兴趣、热爱知识整理和分享的朋友加入！

本文是对集智百科中“豪斯多夫维数”词条的摘录，参考资料及相关词条请参阅百科词条原文。

本词条由集智俱乐部众包生产，难免存在纰漏和问题，欢迎大家留言反馈或者前往对应的百科词条页面进行修改，一经修改，可以获得对应的积分奖励噢！

目录

一、概念二、形式化定义
三、实例四、豪斯多夫维数特性五、自相似集合
六、编者推荐七、百科项目志愿者招募

非整数维度示例：前四个Koch 曲线的迭代，在每次迭代后，所有原始线段都被替换为四个，每个自相似的复制是原始线段长度的1 / 3。豪斯多夫维数的一个建模是使用比例因子(3)和自相似对象的数量(4)来计算维度 D，在第一次迭代后为 D = (log N)/(log S) = (log 4)/(log 3) ≈ 1.26. 也就是说，单点的豪斯多夫维数为零，线段为1，正方形为2，立方体为3时，但对于分形，对象可以有一个非整数维度。

在数学中，豪斯多夫维数 Hausdorff dimension是一种粗糙度的度量单位，或者更确切地说，分形维数，是由数学家 Felix Hausdorff 在1918年首次提出的。例如，单点的豪斯多夫维数为零，线段为1，正方形为2，立方体为3。也就是说，对于定义了一个光滑形状或一个有少数几个角的形状---- 传统几何学和科学的形状---- 的点集来说，豪斯多夫维数是一个整数，符合通常的维度意义，也称为拓扑维度。然而，还有一些公式允许计算其他不太简单的对象的维数，其中仅仅根据它们的标度和自相似特性，就可以得出结论: 特定的对象——包括分形——具有非整数的 Hausdorff 维数。由于Abram Samoilovitch Besicovitch的重大技术进步，允许计算高度不规则或“粗糙”集的维度，这个维度通常也被称为Hausdorff-Besicovitch 维度。

更具体地说，豪斯多夫维数是一个与给定集合相关联的更进一步的维数，其中定义了该集合所有成员之间的距离。这样的集合称为度量空间。维数是从扩展的实数，而不是更直观的维数概念（它不与一般的度量空间相关联，只取非负整数的值）。

用数学术语来说，豪斯多夫维数概括了实向量空间维数的概念。也就是说，n 维内积空间的豪斯多夫维数等于 n。这就是早期假设的基础，一个点的豪斯多夫维数是零，一条线是一等等，不规则集可以有非整数的豪斯多夫维数。例如，右边所示的 Koch 雪花是由一个正三角形构成的; 在每次迭代中，它的组成线段被分成单位长度的3段，新创建的中间线段被用作一个指向外部的新正三角形的基础，然后人们删除这个基础线段用来保留单位长度4的迭代中的最终对象。也就是说，在第一次迭代之后，每个原始线段都被替换为 N=4，其中每个自相似拷贝的长度是原始线段的1/S = 1/3 。换句话说，我们取一个欧几里得维数D的物体，在每个方向上将其线性比例减少1/3，使其长度增加到N=SD。这个方程很容易求解为 D，产生出现在图形中的对数(或自然对数)的比率，并给出——在 Koch 和其他分形情况下——这些对象的非整数维数。

豪斯多夫维数是更简单但通常等价的计盒维数 box-counting或闵可夫斯基维数 Minkowski-Bouligand的继承者。

概念

几何对象X的尺寸的直观概念是指需要多少个独立参数才能找到一个独特的点。但是，任何由两个参数指定的点都可以由一个参数指定，因为实平面的基数等于实线的基数（这可以通过交织两个数字以产生一个编码相同信息的单个数字看到）。空间填充曲线 space-filling curve的例子表明，可以将实线完美和连续地映射到实平面（把一个实数转换成一对实数，从而覆盖所有实数对），由此一维对象完全填充了一个高维对象。

每条空间填充曲线都会多次击中某些点，且不存在连续的逆。将二维以连续和连续可逆的方式映射到一维是不可能的。拓扑维度 topological dimension，也被称为“Lebesgue覆盖维数”，解释了为什么。如果在X的每个小开球覆盖中，至少有一个点 n + 1个球重叠，这个维度是 n。例如，当用短的开区间覆盖一条线时，某些点必须被覆盖两次，给出维数n = 1。

但是，拓扑维度是对空间局部尺寸（点附近的尺寸）的一个非常粗略的度量。一条几乎是空间填充的曲线仍然可以有一维拓扑，即使它填充了一个区域的大部分面积。分形具有整数的拓扑维数，但就其所占的空间量而言，它看起来像一个更高维的空间。

豪斯多夫维数测量一个空间的局部大小时，会考虑到点之间距离（度量）。考虑半径最大为r的球数 N (r) ，需要完全覆盖 X。当r很小时，N(r)以1/r 的多项式增长。对于一个表现足够好的 X，豪斯多夫维数是唯一的数d，这样当r趋近于零时， N(r) 增长为1/rd 。更确切地说，这定义了盒子计数维度，当值d是不足以覆盖空间的增长率和过度充裕的增长率之间的临界边界时，它等于豪斯多夫维数。

对于光滑的形状，或者有少量棱角的形状，传统几何和科学的形状，豪斯多夫维数是一个整数，与拓扑维度一致。但是伯努瓦·曼德布洛特 Benoit Mandelbrot观察到分形——具有非整数豪斯多夫维数的集合---- 在自然界中随处可见。他观察到，我们周围大多数粗糙形状的理想化不是光滑的理想化形状，而是分形理想化形状:

云不是球体，山不是锥体，海岸线不是圆圈，树皮不平滑，闪电也不是直线运动。

对于自然界中出现的分形，豪斯多夫维数和盒计数维数是一致的。封装尺寸是另一个类似的概念，它为许多形状提供相同的值，但是在所有这些尺寸不同的情况，都做了很好的说明。

形式化定义

豪斯多夫集

设 X是度量空间。若S ⊂ X 和 d ∈ [0, ∞) ，则 S 的d维无限 豪斯多夫集定义为

换句话说，C_H^d(S)是数字集合δ>=0的下确界，使得在 i ∈&nbsp中存在一些球集合{B(x_i，r_i)：i∈I} i 包含 s，对于每个 ri > 0 满足 i 中的和

(在这里，我们使用inf Ø = ∞ 的标准约定)。

豪斯多夫分形测量

豪斯多夫外测度不同于无界的豪斯多夫，因为我们不考虑 s 的所有可能，我们看到当球的大小变为零时会发生什么。对于d>=0，我们定义了 S的 d维豪斯多夫Hausdorff 外测度为

豪斯多夫维数 

X的豪斯多夫维数定义为

等价地，dim _H(X)可定义为 d ∈ [0, ∞) 集的下确界，使得X 的d-维 豪斯多夫测度 为零。这与 d ∈ [0, ∞)的集合的上确界相同，因此X的 d 维豪斯多夫测度是无限的（除非后一个集合 d 是空的，豪斯多夫维数为零）。

实例

进一步的分形维数的例子，进一步的分形维数的例子是谢尔宾斯基三角形，它是一个豪斯多夫维数为log(3)/log(2)≈1.58.的物体

• 可数集拥有豪斯多夫维数0。

• 欧几里得空间 ℝn 有豪斯多夫维数 n，循环S1 拥有豪斯多夫维数1.

• 分形一般是那些豪斯多夫维数直接超过其拓扑维数的空间。例如康托尔集是一个o维拓扑空间，由两个自己复制而成，每一个复制品都是原来的三分之一，因此它的豪斯多夫维数是 ln(2)/ln(3) ≈ 0.63。一个谢尔宾斯基三角 Recurrence relation是他自身三个复制的组合。每一个是原来的 1/2，它的豪斯多夫维数ln(3)/ln(2) ≈ 1.58。在递归算法中解决递归关系时，这些豪斯多夫维数与算法分析主定理的临界指标相联系。

• 空间填充曲线拥有和他们填充空间同样的豪斯多夫维数，如皮亚诺曲线 Peano curve。

• 布朗运动在2维及以上的轨迹被推测为豪斯多夫2维。

英国海岸有多长?统计自相似性和分数维数

• Lewis Fry Richardson已经通过豪斯多夫维数去测量了很多海岸线。它的结果涵盖从1.02的南非海岸线到1.25的大英帝国西海岸模型。

豪斯多夫维数特性 

豪斯多夫维数和归纳维数 

设X 是任意可分度量空间。对于X 有一个递归定义的归纳维数拓扑概念。它总是一个整数(或 + ∞) ，记为dim _ind(X)。

定理：假设X 是非空的, 那么

此外，

其中Y是度量空间同胚到 X的范围。换句话说， X和 Y具有相同的基本点集，Y的度量d_Y 拓扑等价于d_X。

这些结果最初是由Edward Szpilrajn(1907–1976)建立的, 参见 Hurewicz and Wallman, Chapter VII.第七章。

豪斯多夫维数和闵可夫斯基维度 Hausdorff dimension and Minkowski dimension

闵可夫斯基维数与豪斯多夫维数相似，至少和它一样大，而且在许多情况下是相等的。然而，[0,1]中有理点集的豪斯多夫维数为0，闵可夫斯基维数为1。还有一些紧集的闵可夫斯基维数严格大于豪斯多夫维数。

豪斯多夫维度和弗洛斯曼测度 Hausdorff dimensions and Frostman measures

如果在度量空间 X 的 Borel 子集上定义一个测度 μ，使得μ(X) > 0 和 μ(B(x, r)) ≤ r^s，对于某个常数 s > 0 和 X 中的每个球 B(x, r) 成立，则 dim_Haus(X) ≥ s 。部分逆向转换由弗洛斯曼引理定义。

联合和产品下的行为

如果，

是一个有限或可数的联合，则

这可以直接从定义得到验证。

如果 X 和Y是非空度量空间，那么它们乘积的豪斯多夫维数满足。

这种不平等可以是严格的。有可能找到两个维数为0的集合，其乘积的维数为1。相反，我们知道当X和Y是 Rⁿ的 Borel 子集时， X × Y的豪斯多夫维数从上面以 X的豪斯多夫维数加上 Y的上填充维数为界。Mattila (1995)曾就这些情况进行了讨论。

自相似集合 

许多由自相似条件定义的集合具有可以显式确定的维数。粗略地说，如果集合E是集值ψ变换的不动点，即ψ(E) = E， 则它是自相似的，尽管下面给出了确切的定义。

定理：假设

是 Rⁿ上的压缩常数r_j'< 1的压缩映射。则有一个唯一的非空紧集A

这个定理来源于 Stefan Banach 的压缩映射不动点定理，该定理应用于 具有豪斯多夫距离的Rn 的非空紧子集的完整度量空间。

开集条件

为了确定自相似集A 的维数(在某些情况下) ，我们需要一个关于收缩序列的称为开集条件(OSC)的技术条件ψ_i。

有一个相对紧的开集V

左边并集的集合成对不相交。

开集条件是保证图像ψ_i(V) 不重叠“太多”的分离条件。

定理假设开集条件成立，并且每个ψ_i 是一个相似度，即等距和某个点周围的膨胀的组合。。那么唯一的不动点是Hausdorff维数为 s 的集合，其中 s 是 s的唯一解

相似物的收缩系数就是膨胀的大小。

我们可以使用这个定理来计算谢尔宾斯基三角形的豪斯多夫维数(或者有时候叫做谢尔宾斯基垫圈)。考虑R2 平面上的三个非共线点，a1，a2，a3，让ψi是围绕着ai比率1/2的膨胀。对应映射的唯一非空不动点是一个谢尔宾斯基垫圈，其维数s是对应映射的唯一解

取上述方程两边的自然对数，我们可以求出 s，即: s = ln(3)/ln(2)。该密封垫具有自相似性，满足 OSC 要求。一般来说，集合 E是一个映射的不动点

是自相似的，当且仅当

其中 s是E的豪斯多夫维数， Hs 表示 豪斯多夫测度。对于谢尔宾斯基垫圈（交叉点就是点）来说，这一点很明显，但更普遍的情况是:

定理：在与前一定理相同的条件下，其唯一不动点 ψ 是自相似的。

编者推荐

书籍《大自然的分形几何》封面

书籍推荐

分形对象：形、机遇和维数 Fractals:From,Chance,and Dimension

本书考察和研究出现在自然界中的若干典型分形对象，为我们提供了一个关于分形的内容，意义及方法的扼要介绍。尽管自该书第一版（法文版）问世以来，分形的理论及其应用发展极为迅速，并出现了大量的有关著作，但此书仍不失为分形理论最好的入门书之一

大自然的分形几何 The Fractal Geometry of Nature

这本书介绍了自然界中各种各样的分形理论，从海岸线、雪花，到河流、星系等自然现象，去阐述分形这一概念。作为多个学科的交叉，分形几何对以往欧氏几何不屑一顾（或说无能为力）的“病态”曲线（如科赫雪花曲线等）的全新解释，是人类认识客观世界不断开拓的必然结果。这说明欧氏几何只是对客观世界的近似反映，而分形几何则深化了这种认识，因此分形几何学是描述各种复杂自然曲线的大自然的几何学。

市场的（错误）行为：风险、破产与收益的分形观点The Misbehavior of Markets: A Fractal View of Financial Turbulence

《市场的（错误）行为》以分形视角观察金融市场的行为，推翻了作为当代金融分析基础的“随机游走”理论。通过分形模型，市场表现被重新阐释。本书是现代金融理论标准工具和模型的一次革命性重估，书中的观点颠覆了成千上万投资者的既有观念。

网站资源

分形艺术网

http://www.fxysw.com/forum-12-1.html

分形艺术网作品

分形艺术网是一个展示分形艺术之美，学习交流分形艺术创作的平台，其中包含了很多分形艺术作品及分形资源推荐。

视频资源

TED分享视频：伯努·瓦曼德布洛特: 分形和粗糙的艺术 Benoit Mandelbrot: Fractals and the Art of Roughness

https://www.ted.com/talks/benoit_mandelbrot_fractals_and_the_art_of_roughness

Benoit Mandelbrot的研究使世界对分形有了更深刻的理解，分形是研究粗糙的广泛而有力的工具，在自然界和人类的作品中都是如此。该视频概述了分形的研究，以及它们为许多领域带来的颠覆性见解。

寻找隐藏的维 Hunting the Hidden Dimension

https://www.bilibili.com/video/av13766486/?p=2

什么是电影特效，股票市场，和心脏病的共同点？它们连接了一个革命性的新的数学分支，改变了我们看世界，开辟了广阔的新领域，以科学的分析和理解。数学家们开发不规则碎片形是从单纯的好奇心到接触几乎每一个分科的理解，包括我们宇宙的命运。

课程推荐

系统科学简史与现代复杂系统科学,本课程主要探讨了现代复杂系统科学的研究主题，同时也介绍了系统科学的历史，生命游戏与分形结构等知识点https://campus.swarma.org/course/283

分形与奇异吸引子的几何学

https://campus.swarma.org/course/694

本课程对非线性动力学和混沌进行了详细的讲解，强调分析方法、具体实例和几何直觉。主讲人为Steven Strogatz。

分形的世界

https://campus.swarma.org/course/760

在此堂课程，主要介绍了关于分形的思想与脉络，分形现象、分形维数、利用分形规律的计算方法以及混沌。主讲人为北京师范大学系统学院狄增如教授。狄增如教授主要从事复杂网络和经济（金融）物理学等方面的研究，是国内最早从事经济物理学研究的学者之一。

集智百科文章

百科项目志愿者招募

作为集智百科项目团队的成员，本文内容由薄荷编辑。我们也为每位作者和志愿者准备了专属简介和个人集智百科主页，更多信息可以访问其集智百科个人主页。

以上内容都是我们做这项目的起点，作为来自不同学科和领域的志愿者，我们建立起一个有效的百科团队，分配有审校、翻译、编辑、宣传等工作。我们秉持：知识从我而来，问题到我为止的信念，认真负责编撰每一个词条。

在这里从复杂性知识出发与伙伴同行，同时我们希望有更多志愿者加入这个团队，使百科词条内容得到扩充，并为每位志愿者提供相应奖励与资源，建立个人主页与贡献记录，使其能够继续探索复杂世界。

如果你有意参与更加系统精细的分工，扫描二维码填写报名表，我们期待你的加入！

集智百科报名表

来源：集智百科

编辑：王建萍

推荐阅读

点击“阅读原文”，阅读词条豪斯多夫维数原文与参考文献