复杂系统中的突变特刊——理论、方法与应用

导语

临界与突变现象（critical and tipping）是复杂系统科学的重要研究对象。近期The European Physical Journal 发布专题特刊，通过 21 篇文章探讨了复杂系统中临界点的性质。这些研究揭示了该领域的最新趋势和研究方向，并强调了该领域在未来将面临的紧迫挑战。该特刊中的文章分为三大部分：第一部分集中讨论了能够诱发不同状态之间突变的机制；第二部分探讨了表征突变现象的措施，并提出了可用于控制突变的策略；第三部分介绍了复杂系统中突变的几个具体案例研究，如交通流、降水模式和尘云不稳定性。本文编译了特刊导言和21篇论文摘要。

研究领域：临界现象，突变，复杂系统，非线性动力学，数据驱动

G. Ambika, Jürgen Kurths | 作者

王百臻 | 译者

刘培源 | 审校

邓一雪 | 编辑

特刊名称：

Tipping in Complex Systems: Theory, Methods and Applications

特刊地址：

https://link.springer.com/journal/11734/topicalCollection/AC_ac67ae404e16f19b99913247f14b8072

目录

导言：复杂系统中的突变：理论、方法与应用

1. 对称破坏引起的突变老化

2. 预期诱发的社会倾向性：社会动力学能稳定环境吗?

3. 复杂网络交通流Nagel-Schreckenberg模型中的极端事件

4. 非线性振荡器中动态群体感应影响的临界转变

5. 空间生态系统中速率诱导的突变与制度变迁

6. 生态系统中由速率导致的稳态转变

7. 渐近自治系统混沌吸引子的物理不变测度和突变概率

8. 基于主体模型的突变路径统计分析

9. 通过有针对性的社会疏离移动流行病的临界点

10. 抑制噪声引起的临界过渡：线性增强方法

11. 蝾螈闪烁视觉同步倍周期临界减速指标

12. 两层网络上多路复用引起的突变

13. 哥本哈根网络研究中探索社会传染的剂量-反应函数和替代模型

14. 堆肥炸弹在连续极限中的不稳定性

15. 基于卫星和观测数据的盆地降水网络探测

16. 用双流体量子流体力学模型研究磁化量子等离子体中尘埃声波的多维不稳定性

17. 噪声对磁感应可激介质中波传播的影响

18. 在比例依赖的群落动力学模型中加入外部噪声，只有模拟物种才能生存

19. 有限规模效应、人口统计噪声以及生态系统动力学

20. 利用逻辑操作的临界点

21. 热声系统中的临界转变及其预警信号

导言：

复杂系统中的突变：理论、方法与应用

作者：G. Ambika，Jürgen Kurths

原文地址：https://link.springer.com/article/10.1140/epjs/s11734-021-00281-z

人们观察到，现实世界中多种复杂系统都会在其行为模式中经历突然的转变，这将使它们从一个状态转向另一个状态。这类变化以多种途径影响着人类，包括但不限于全球气候变化、地震、飓风、生态系统突变、电力系统的停电、金融市场的崩溃、抑郁症的发生乃至流行病的激增[1,2,3,4,5,6,7]。这种突变往往会产生巨大的影响，而且大多是不可逆转的。它们的发生主要是由于系统的一个或多个参数或状态变量的临界值发生微小扰动，从而导致了系统状态的巨大变化。

正如我们所知，复杂系统大多是由几个相互作用的子系统组成的，并且往往拥有多个自由度。这些系统的复杂性来自于子系统相互作用的非线性动力学、子系统相互作用模式的异质性以及子系统动力学中多时间尺度的存在。这类系统中典型的例子有植被与湖泊相连接的斑块、相互作用的多气候因素、多尺度下的基础设施系统、混合能源系统等。这种系统可以用多稳定子系统耦合的复杂网络框架[8]进行建模。在这种情况下，一个子系统中的突变可能导致整个系统[9]中的突变级联。然后，通过识别早期预警信号和制定治理和预防级联效应的策略来预测这种突变就变得迫在眉睫。此外，更大规模的实证和建模工作，以了解如何利用社会突变为全球利益服务(如减缓气候变化)的潜力，也是同等重要的需求。

在复杂系统中，由于分岔、临界状态附近的波动或噪声，以及动力学控制参数的速率变化，会诱发系统的突变（the tipping）。此外，迷宫般的吸引盆（riddled-like basins of attraction）、分形诱导的突变、连接或交互的拓扑复杂性等被认为是导致临界转变的因素[10,11]。在突变发生的所有机制或过程中，诱导因素的作用及其相关的缩放现象是当前研究的热点。在这方面，气候和环境科学、流行病、临床研究和社会经济等不同领域中发生的关于突变的案例研究非常具有说明性和信息性。

本期特刊共21篇文章，介绍了复杂系统突变研究的最新趋势和方向，以及该领域面临的紧迫挑战和未来展望。研究者将从突变的机制或过程，以及如何应对突变的对策出发，继续研究突变的控制，最终以不同的领域和应用的案例研究结束。

前六篇文章聚焦于诱发突变的机制。Gowthaman等人的[12]报告了对称破缺耦合和非均匀性程度之间的竞争相互作用如何决定耦合Stuart-Landau振子系统的涌现动力学（emergent dynamics），并随着非均匀性的增加导致分岔诱导的突变进入老化状态。Mueller等人[13]研究了预期（anticipation）如何在个体的社会网络与污染等自然动态环境系统之间发挥中介作用这一重要问题。他们发现，社会变化可以稳定环境，防止潜在的社会生态崩溃。正如Verma和Ambika[14]所示，由于与另一个系统网络的多路复用，可能会导致一组系统中的突变，在这种情况下，耦合拓扑会影响这两个多路复用层上的过渡的性质。Asir等人提出了在各种生物和化学系统中，动态群体感应如何导致向稳态的不连续过渡。在Arumugam等人[16]的文章里，研究者看到在空间耦合的生态系统中，速率诱导的突变导致了一个元群落的灭绝。在噪声介导的过渡的背景下，Cabrera等人报告了一项关于噪声介导的过渡的研究，该研究显示了如何通过接近稳定边界的确定性和随机时间尺度之间的耦合介导过程以避免熄灭转变（extinguishing transition）。

接下来，几篇文章介绍了关于突变现象特征的测量方法。Ashwin和Newman[18]的研究是基于突变概率来量化混沌吸引子之间的速率依赖突变。Helfmann等人[19]讨论了基于主体（agent）模型中相关子集和路径之间的噪声诱发突变。使用两个模型，他们用转移路径理论来论证突变行为，该理论给出了突变路径的统计理解。下一篇文章将讨论控制突变的策略，这与避免转变带来不良或有害后果有关。Ma等人的[20]提出了一个新的视角，通过外部线性增强方法抑制噪声引起的从理想状态到另一种对比状态的临界过渡，并演示了双稳态和三稳态系统的方法。在Ansari et al.[21]的文章中，研究者采用马尔可夫链—蒙特卡罗方法，通过减少社会交往邻接矩阵的最大特征值来移动流行病突变点。利用SIS/SIR模型，该文章表明从流行病状态到非流行病状态的转变发生在这种程度均质网络（degree-homogenized networks）中。

接下来，研究者将对不同领域的突变及相关现象进行具体的案例研究：Clarke 等人的连续极限中的堆肥炸弹不稳定性[22]。交通流系统模型中的极端事件，Gupta 和 Santhanam [23]，哥本哈根网络中社会传染的传播过程，Donges 等人[24]。蝾螈闪烁视觉的严重减慢，Mehrabbeik 等人[25]。来自卫星数据的盆地降水，Gadhawe 等人[26]。尘埃声波的不稳定性，Gao 和 Wu [27]，可激发介质中的波传播，Ramakrishnan 等人 [28]，群落动力学中的拟态物种，Garain [29]，以及有限尺寸效应和人口噪声生态系统动力学，Majumder 等人 [30]。

最后，研究者简要回顾了这些突变在两种不同情况下的应用。一个有趣的应用是利用逻辑操作[31]的突变点，这样突变机制就可以用于构造通用计算设备。复杂系统中的临界点能够在参数的微小变化下在非常不同的吸引子之间切换，这可被利用高效和灵活地实现基本逻辑操作，其可靠性通过适度的噪声得到增强。Pavithran 等人回顾了检测热声系统中的振荡不稳定性所面临的挑战，特别是对于从混沌状态到通过间歇状态的极限循环的过渡。这篇综述还强调了稳定运行期间系统中存在的固有波动如何用于实时提供警告，以便启动控制措施以减轻关键过渡的影响。

研究者注意到，复杂系统中与突变相关的研究正日渐受到数据驱动，这主要是由于所涉及的动力学过程的复杂性和不完全理解。因此，未来的发展趋势是将动力系统理论、自适应多层网络和机器学习结合在一起，以实现全面和有效的结果。

1. 对称破坏引起的突变老化

论文题目：

Symmetry-breaking-induced tipping to aging

论文地址：

https://link.springer.com/article/10.1140/epjs/s11734-021-00010-6

在本文中，研究者研究了N个全局耦合Stuart-Landau振子系统中，非均匀耦合和对称破缺耦合对系统中出现动力学的竞争效应。通过增加非均匀性，研究者利用Hopf分岔参数的标准差，发现对于对称破缺耦合，当耦合值较低时，更倾向于宏观振荡，对于耦合值较大时，更倾向于非均匀稳态。从宏观振荡状态到均匀稳定状态（老化状态）也有一个过渡，即突变。即使网络中存在大量的非活跃振荡子，扩散耦合中的限制因素也有利于网络的宏观振荡状态，从而提高了网络的鲁棒性。

对于 a = -0.50 和两个不同的固有频率值，使用 XPPAUT 作为耦合强度函数的分岔图。a ω=0.1，b ω=0.2。实心圆和实线对应于稳定的极限环振荡和稳定的稳态，而空心圆和虚线对应于不稳定的极限环振荡和不稳定的稳态

研究者利用自洽场方法将全局耦合振子简化为两个宏观阶参量的演化方程系统，宏观阶参量对应于平均场和形状参数。由平均场变量得到的分岔图阐明了N个全局耦合Stuart-Landau振子中观测到的动态跃迁的各种分岔情形。特别是，通过Hopf和干草叉分岔发现了向老化状态倾斜的现象，说明了分岔诱导的倾斜现象。由平均场变量推导出的这些分岔的解析稳定性（临界）曲线与仿真结果相当吻合。

2. 预期诱发的社会倾向性：

社会动力学能稳定环境吗？

论文题目：

Anticipation-induced social tipping: can the environment be stabilised by social dynamics?

论文地址：

https://link.springer.com/article/10.1140/epjs/s11734-021-00011-5

在过去的几十年里，人类活动导致了全球地球系统的变化，例如气候变化或生物多样性的丧失。同时，这些相关影响提高了全球社会的环境意识，从而导致社会和自然地球系统之间的动态反馈。现代的地球系统动力学建模尝试很少包含这样的共同演化和相互作用，这类建模大多数是通过直接或记忆过去的影响进行单向研究。

模型设置的示意图：环境仅由一个变量表示，即全球污染水平 Y，其变化与其自身的值成正比，系统的平均状态是污染因子 X 的份额。社会系统由个体主体组成，这些主体要么增加污染，要么反之。他们根据当前的污染水平（直接影响）、未来预期的污染水平（预期影响）和他们在网络中的直接邻居的行为（社会传染）来改变他们的二元状态 xi

认识到社会具有额外的预见能力之后，本工作提出了一个社会—生态协同进化的概念反馈模型，其中，研究者构建了“预期”以作为社会和自然系统之间的中介。研究者的模型参考了过去社会学双稳定性阈值模型的结果，假定一个静态环境。一旦环境因社会行为而发生变化，系统就会转而趋同于一个全球稳定的、但不一定是人们所期望的吸引子（attractor）。最终，研究者阐明，对未来生态状态的预期会导致系统的亚稳态，在那里，所期望的状态可以持续很长一段时间。因此，研究者证明，远见和预期形成了一个重要的机制，一旦它的时间范围变得足够大，就会培养社会倾向于能够稳定环境和防止潜在的社会生态崩溃的行为。

3. 复杂网络交通流

Nagel-Schreckenberg模型中的极端事件

论文题目：

Extreme events in Nagel–Schreckenberg model of traffic flow on complex networks：

论文地址：

https://link.springer.com/article/10.1140/epjs/s11734-021-00016-0

本文将Nagel-Schreckenberg车辆交通模型推广到无标度网络上的车辆系统，以研究其中的极端事件。确定了自由流动状态和拥挤状态对车辆密度的依赖关系。特别是在车流密度较低时，车流处于自由流动状态，在车流密度较高时，车流逐渐过渡到拥挤状态。

该图显示了在任意时间由网络的 4 个节点组成的一小部分。节点通过双向边连接，每个方向由一条车道组成。每个泳道是 L 个位点的一维点阵（出于代表性目的，此处 L=18）。站点上的红色圆圈表示该站点存在车辆

利用非趋势涨落分析表明，在低密度状态下，车辆流量具有长程相关性；而在密度较高时，通量变得不相关。研究者研究极端事件的复发间隔分布及其发生在低和高车辆密度状态下的概率。研究表明，极端事件的发生概率与定义极端事件的节点或阈值的程度无关。

4. 非线性振荡器中

动态群体感应影响的临界转变

论文题目：

Critical transition influenced by dynamic quorum sensing in nonlinear oscillators

论文地址：

https://link.springer.com/article/10.1140/epjs/s11734-021-00012-4

在本文中，研究者基于阈值研究了非线性振子与动力学环境相互作用的临界转变。阈值是由网络中存在的单个振荡器的振幅编码的。其关键思想是，当振荡器的振幅超过阈值时，该节点将以特定的相互作用强度与环境耦合。这种考虑模仿了群体感应机制，当种群密度达到阈值时，许多生物和化学系统通过群体感应实现集体行为。

节点之间的网络动力学模型

通过上述研究，研究人员发现：当阈值小于最大振幅时，出现了向稳态的一阶不连续转变。该文还推导了在所选模型中获得临界点的一般表达式。

5. 空间生态系统中

速率诱导的突变与制度变迁

论文题目：

Rate-induced tipping and regime shifts in a spatial ecological system

论文地址：

https://link.springer.com/article/10.1140/epjs/s11734-021-00139-4

在本文中，研究环境变化的速率如何影响一个生态群落的稳定性和持久性。研究者使用空间耦合生态系统的环境参数的显式变化率，研究与元社区灭绝相关的速率依赖性反应。研究者的研究结果阐明了速率诱导的衰减（R-tipping）的各种情况，如通过增加振荡振幅来实现的突变、通过同步动力学来实现的突变以及通过跟踪不稳定状态来实现的突变。

速率依赖状态通过跟踪不稳定状态发生变化。当 μ = 0 时，元群落在 HB1 和更高的 K 值下具有多重稳定性。对于以速率（ μ = -0.0001）降低承载能力，人口密度的演变显示出通过跟踪跨临界分叉（TB）处的不稳定状态的转变 . 在这里，其他参数设定为 r=0.6, Dv=0, Dh=0.3, Q1=0, Q2=0.8, a=-0.4, α=0.8, b=0.2, β=0.5, and m=0.16

此外，研究者显示了远离分岔点的速率依赖的延迟响应，但在这种情况下，跟踪的是不稳定状态。研究者的研究结果强调，环境变化的速率可以揭示系统的稳定平衡态和分岔点所不能预测的意外灭绝动力学。因此，研究者的结果说明了对于理解一个生态系统的稳定性和持久性而言，速率依赖响应的重要性。

6. 生态系统中由速率导致的稳态转变

论文题目：

Extinctions in time-delayed population maps, fallings, and extreme forcing

论文地址：

https://link.springer.com/article/10.1140/epjs/s11734-021-00015-1

众所周知，具有时间延迟的随机种群图经历了噪声介导的转变，导致其结构稳定性的丧失。由于所涉及的确定性和随机时间尺度的耦合，这种过渡对Ornstein-Uhlenbeck强迫的噪声相关时间的特定值进行了优化。在这里，研究者证明了确定性时间尺度与系统接近稳定边界的动力学有关。转义过程描述了一个类似于人类棒平衡（human stick balancing）中观察到的生存分布函数，该任务已知涉及截断的 Lévy 强迫。

在相关参数随机波动影响下逃出有限解空间。这些结果适用于h=1的情况。图左:在特定的噪声条件下，系统演化在由p ~ pd≡2.27时，在限定的有限解空间内可得到的最大混沌吸引子。图右:不同的噪声特性(强度和时间相关性)将系统从有限解空间中驱逐出来，并经过零(即消光)的轨迹发散到−∞。

结果表明，与正态力相比，这种极端分布更有利于倒立摆的稳定，且系统参数接近稳定边界。这一结果表明，如果极端强迫能够将系统参数调整到接近稳定边界的特定时间延迟值(具有生理意义)，则不稳定动力学可能暂时避免灭绝。这些结果说明了接近稳定边的反馈对生存和灭绝的相关性。

7. 渐近自治系统混沌吸引子

的物理不变测度和突变概率

论文题目：

Physical invariant measures and tipping probabilities for chaotic attractors of asymptotically autonomous systems

论文地址：

https://link.springer.com/article/10.1140/epjs/s11734-021-00114-z

物理度量是不变的度量，用来描述在自治动力系统的混沌吸引子盆地中开始的轨迹的“典型”行为。在本文中，研究者将这一概念推广到更一般的非自治（时变）动力系统。一般来说，在物理上有意义的方式中这样做是有障碍的，但是对于具有自主限制的系统，研究者可以根据过去限制中的物理度量来定义物理度量。研究者利用这一点来理解混沌吸引子之间的速率依赖突变可以用“突变概率”来量化的情况。

在(a)不可逆速率依赖突变a=0.0135和(b)瞬态速率依赖突变a=0.0157情况下，具有(17)位移的Stommel-Lorenz模型(16)的速率依赖突变:其他参数和详细信息请参见文本。

研究者在两个具有多个吸引子的摄动系统的例子中证明了这一点。第一个是Chua等人的双涡旋系统，第二个是Lorenz混沌强迫下的Stommel模型。

8. 基于主体模型的突变路径统计分析

论文题目：

Statistical analysis of tipping pathways in agent-based models

论文地址：

https://link.springer.com/article/10.1140/epjs/s11734-021-00191-0

基于主体（agent）的模型是模拟复杂社会系统的自然选择。在这些模型中，在微观尺度上的大量个体的简单随机相互作用规则可以导致宏观尺度上的涌现动力学，例如多数人的观点或行为的突变。

一个由 50 个交互主体组成的完整网络复杂传染动力学。a 在由“具有绿色意见的主体数量”和“具有绿色行为的主体数量”两个坐标跨越的平面内具有很强的循环性。b 因此，我们还可以通过在坐标平面中绘制顺时针角度来可视化动力学，即相位 θ_t。模型参数为 b,c,f,g=0.7, e=0.02, τ=0.99

在本文中，研究者介绍了一种方法来研究噪声诱发的突变之间的相关子集的主体状态空间表示特征配置。由于个体的大量相互作用，基于主体的模型是高维的，但通常存在一个低维的集体行为结构。因此，研究者应用扩散图，一种非线性的降维技术，来揭示内在的低维结构。研究者用转移路径理论来描述突变行为，这有助于统计理解突变路径的分布、通量和速率。通过系统地研究两种基于主体的模型，展示了多种突变途径和级联效应，说明了研究者的方法的实用性。

9. 通过有针对性的社会疏离

移动流行病的临界点

论文题目：

Moving the epidemic tipping point through topologically targeted social distancing

论文地址：

https://link.springer.com/article/10.1140/epjs/s11734-021-00138-5

一种社会制度的流行阈值是指当一种疾病在该社会制度中传播时，其感染率和恢复率超过流行阈值时，疾病便会在该社会中进行流行性传播。在没有药物干预措施（即疫苗）的情况下，控制特定疾病的唯一方法是通过社会距离等非药物干预措施，将这一阈值移至与该疾病对应的流行阈值之上，从而使系统从流行状态转向非流行状态。将疾病建模为社交图上的传播过程，可以通过删除一些图上的链接来建立社交距离模型。推测结果图邻接矩阵的最大特征值对应于系统流行阈值。

从 N=100 和 E≈900 的初始 BA 和 RG 图中删除 80% 的联系人后，来自网络集合的示例网络。

本文采用马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法研究了那些能够有效减小邻接矩阵最大特征值的链路移除方法。MCMC方法从定义了λ_max期望值的相对正则网络集成中生成样本。我们将其称为“良好控制网络集成”（well- controlled network ensemble, WCNE），并将其结构与相同链路密度的随机减薄网络进行比较。我们观察到，WCNE中的网络倾向于在度分布上更加均匀，并使用这种见解定义了两种特别的去除策略，它们也大大降低了最大特征值。有针对性地删除80%的链接与随机删除90%的链接一样有效，这使得个体的联系人数量增加了一倍。最后，通过SIS或SIR模型模拟传染病的传播，以不同的链路移除策略（随机、WCNE或度均化）创建的网络集成，我们发现，WCNE和度均化网络的传染率和恢复率的临界比比随机去除得到的网络的传染率和恢复率的临界比更大。

10. 抑制噪声引起的临界过渡：

线性增强方法

论文题目：

Suppression of noise-induced critical transitions: a linear augmentation method

论文地址：

https://link.springer.com/article/10.1140/epjs/s11734-021-00112-1

在随机复杂系统中，由于噪声的存在，从一种理想状态到另一种相反状态的突然临界过渡（ct）可能会发生，这甚至可能导致灾难性的后果。为了使某个系统保持一种理想的性能状态，需要开发在噪声存在时抑制这些灾难性ct的方法。

随机复杂系统中的突变 CT 示例。本图显示的是噪声引起的 CT（虚线箭头）和没有噪声时的 CT（实线箭头）。对于给定的 α，图片显示了双稳态区域（阴影部分）中的三个平衡点 xS1、xU 和 xS2

本文从一个新的角度研究了一种外部线性增强方法抑制高斯白噪声引起的ct偏离理想状态的能力。这种控制的设计是这样的，当噪声诱导CT临近时，在随机复杂系统中，理想的性能状态可以通过与线性动力系统的特定类型的耦合来稳定。然后，这种对比状态随着耦合强度的增加而湮灭。双稳态系统和一个CT（从理想状态到不受欢迎的一个）和三稳态系统有两个CT（从理想状态sub-desirable和从sub-desirable状态不良的）的作为真实复杂系统的原型类,演示了研究者的技术的潜力。

11. 蝾螈闪烁视觉同步倍周期临界减速指标

论文题目：

Critical slowing down indicators in synchronous period-doubling for salamander flicker vision

论文地址：

https://link.springer.com/article/10.1140/epjs/s11734-021-00113-0

许多动力系统，特别是生物动力系统，表现出不同的状态，在这些状态中，系统的动力学通过一个临界过渡从一个状态变化到另一个状态。这些转变是临界点（CPs）。当吸引子变得脆弱时，CPs可以观察到临界慢化现象。由于CPs的重要性，不同的指标，如方差，自相关，峰度，偏态，多年来一直是本学科中的研究热点。

以对比度为控制参数的蝾螈 ERG a 的分岔图（闪光频率 = 16 Hz）；将闪光频率视为控制参数（对比度 = 1.0）

本文从蝾螈的眼睛中记录了视网膜电图（ERGs），研究了四个公认的CP指标。为了研究这些著名的指标预测蝾螈ERGs分岔系统动力学变化的能力，首先，使用人工阈值检测系统的不同动力学。然后利用这四个指标实现预警信号。结果表明方差指标有希望作为一个值得信赖的指标，可以作为一个预警信号。此外，峰度和偏度是最不理想的指标，因为它们对噪声非常敏感，而噪声是真实数据的固有属性。虽然像方差一样，自相关可以得到准确的结果，但它包含了许多假阳性，从而降低了该指标作为CPs早期预警信号的可靠性。并且指出，在每个分岔参数中适当的数据长度可以得到更可靠的预警信号。

12. 两层网络上多路复用引起的突变

论文题目：

Tipping induced by multiplexing on two-layer networks 

论文地址：

https://link.springer.com/article/10.1140/epjs/s11734-021-00116-x

研究者报告了由于与另一个系统网络的多路复用而在系统中诱导的突然过渡或突变的研究。由于与共享环境的间接耦合、平均场耦合和它们之间的共轭耦合，一层振荡的突发动力学会发生突然向稳态的转变。在所有这些情况下，当与另一组类似的系统复用时，在第二层诱发的突变现象也具有类似的行为模式。

耦合范德波尔振荡器的多重网络中从振荡状态到死亡状态的转变。L1 层（左图）具有 S-F 耦合拓扑，以及共享环境，L2 层（右图）形成一组非耦合系统，每个系统中有 N 个振荡器。a1, b1 阶参数，A(λ₁)，在耦合强度 λ₁ 绝热变化下，向前（红色）和向后（绿色）方向，<k1>=6；a2, b2 处于死亡状态的振荡器与总数的比值，N_d/N，向前连续绘制，<k1>=6；a3, b3 过渡期间的阶参数，<k1>=20 和 a4,b4 N_d/N，<k1>=20。其他参数为 b=1、ε=1.5、η=1、λ₂=0.0 和 N=500。即使 L2 的振荡器不耦合，L1 上发生的倾翻也会在 L2 上引起类似的转变模式。临界点随着 <k1> 的变化而改变

研究者把范德堡尔振荡器看作是具有各种网络拓扑的节点动力学，例如具有局部和非局部耦合的无标度网络和规则网络。研究者还报告了在多路复用下，耦合拓扑如何影响这两个层上转换的性质。

13. 哥本哈根网络研究中

探索社会传染的剂量-反应函数和替代模型

论文题目：

Dose–response functions and surrogate models for exploring social contagion in the Copenhagen Networks Study

论文地址：

https://link.springer.com/article/10.1140/epjs/s11734-021-00279-7

网络传播动力学和复杂传染过程是复杂的人与自然系统中关键过渡、突变点等非线性现象出现的重要机制。现在越来越多的时间网络数据可用来研究这种行为、观点、思想、疾病和创新的传播过程，以检验关于其特定属性的假设。

哥本哈根网络研究：第一学期典型一天的时间网络快照。每个点代表一个个体，根据从单个节点（深蓝色）到大型集群（深红色）的集群大小进行颜色编码。快照中明显的节点簇对应于参与活动的学生，例如讲座或在自助餐厅吃午餐

为此，研究者在这里提出了一种基于剂量反应函数和使用替代数据模型的假设检验的方法，该模型随机化了经验数据的大部分方面，同时保留了与传染、群体或同质性动力学相关的某些结构。研究者证明了这种方法的合成时间网络数据的扩展过程产生的自适应投票人模型。此外，研究者将其应用于哥本哈根网络研究的经验时间网络数据。这个数据集提供了数百名参与研究的大学生在三个月的时间里身体上的紧密联系网络。研究者在这个网络上研究与健康有关的“定期去健身房”行为的潜在传播动力学。基于主体数据模型的层次结构，研究者发现研究者的方法既没有为该数据集中剂量-反应型网络传播过程的影响提供显著证据，也没有为同质性提供显著证据。运动行为的经验动力学可能更好地由个体特征来描述，如对行为的倾向、维持行为的持久性、影响整个群体的外部影响以及非平凡网络结构。该方法具有通用性，也可应用于其他时间网络数据集和感兴趣的特征。

14. 堆肥炸弹在连续极限中的不稳定性

论文题目：

The compost bomb instability in the continuum limit

论文地址：

https://link.springer.com/article/10.1140/epjs/s11734-021-00013-3

“堆肥炸弹”的不稳定性是指土壤温度不受控制的升高。当足够快的变暖增加土壤异养呼吸作用时，就会引起这种不稳定性，而异养呼吸作用又会进一步加热土壤。这会产生失控效应，使土壤温度迅速升高。本文研究了这个在地球系统模型中被忽略的过程，迄今为止，它已被通过使用常微分方程的概念模型进行了分析。但该模型被过度理想化，模型中不存在任何土壤空间结构的表示。

土壤温度 T_s(z,t) 的热扩散方程

在此，研究者使用偏微分方程，在考虑土壤深度时仍然会出现这种失控效应。使用这种较新的模型，本文研究了使土壤容易受到这种不稳定性影响的强迫参数。特别是，研究者发现危险的大季节循环变化对气温的影响可以为“堆肥炸弹”热不稳定性创造合理的条件。

15. 基于卫星和观测数据的

盆地降水网络探测

论文题目：

Network-based exploration of basin precipitation based on satellite and observed data

论文地址：

https://link.springer.com/article/10.1140/epjs/s11734-021-00017-z

充足和有效的降水数据由于其时空变异性以及地形和气候因素是一个主要问题。基于卫星的产品是对地形复杂和气候多样的盆地进行可靠降水估计的另一种选择。免费提供覆盖全球和连续数据的卫星产品;然而，理解空间联系对于可靠的水文应用至关重要。

P-Network（面板 I）和 S-Network（面板 II）的不同相关阈值的聚类系数值。在两个面板中，（a-d）代表 TRMM 网络，（e-h）代表IMD 网络

本研究采用聚类系数、度分布、平均邻域和建筑等复杂网络概念来研究盆地的空间连接。研究者还利用加权间度确定了降水网络中有影响的格点。结果表明，相关性方法对网络拓扑结构没有显著影响。但相关阈值影响降水网络的聚类系数和度值的空间分布。聚类系数和聚类度的空间分布与相似性测度和相关阈值无关，呈反比关系。基于卫星和观测数据的降水体系结构在一定的相关阈值范围内表现出小世界行为。研究者的发现揭示了空间降水联系，并为进一步的水文应用研究提供了途径。

16. 用双流体量子流体力学模型

研究磁化量子等离子体中尘埃声波的

多维不稳定性

论文题目：

Multi-dimensional instability of dust acoustic waves in magnetized quantum plasmas by two-fluid quantum hydrodynamics model

论文地址：

https://link.springer.com/article/10.1140/epjs/s11734-021-00110-3

本文研究了由带负电荷和正电荷的可移动尘埃、无间隙量子电子和离子组成的磁化尘埃等离子体中尘埃声波（daw）的双流体量子流体动力学模型（QHM）。利用约化摄动技术导出了Zakharov-Kuznetsov（ZK）方程，本文给出了ZK方程的孤立波解，并对粉尘晶体中的参数解进行了数值分析，研究了正、负粉尘条件下的daw的性质。

ZK方程的形式

同时，本文用小k摄动方法研究了这些孤立波的多维不稳定性。不稳定性判据和依赖于倾角的生长速率、离子与尘埃的密度比、尘埃的回旋频率以及电子与离子的费米温度比，讨论了压缩孤立波（CSWs）和稀疏孤立波（RSWs）的量子衍射参数以及正尘埃和负尘埃的电荷质量比。这些结果对白矮星和磁星内部的意义已作了简要的讨论。

17. 噪声对磁感应可激介质中波传播的影响

论文题目：

Effects of noise on the wave propagation in an excitable media with magnetic induction

论文地址：

https://link.springer.com/article/10.1140/epjs/s11734-021-00115-y

本文研究了考虑磁感应的改进的hindmarshs - rose神经元模型的波传播现象和网络动力学。利用特征值、李雅普诺夫指数和分支图讨论了改进神经元模型的动力学性质。对指数型和二次型磁链模型进行了简单的比较，结果表明，指数型磁链模型可以表现出与二次型模型相似的特性，即磁链电阻随电压极性的变化呈单调递增或递减的趋势。

具有指数通量耦合的外部电磁辐射的无量纲形式

在网络动力学研究中，研究者考虑了两个额外的外部干扰，如噪声和通量激励。定义了具有Box-Mueller型随机噪声和正弦周期磁链激励的晶格阵的数学模型。以噪声方差作为控制参数，研究了噪声存在时的波传播现象。研究者可以证明，当噪声应用到网络整个模拟时间，螺旋波是有效地抑制非常低的噪声方差值。

18. 在比例依赖的群落动力学模型中

加入外部噪声，只有模拟物种才能生存

论文题目：

Only mimic-species can survive when external noises are added in a ratio-dependent community dynamics model

论文地址：

https://link.springer.com/article/10.1140/epjs/s11734-021-00111-2

分界线（洋红色线）和置信椭圆（实线）

本文讨论了稳定内平衡点吸引盆地中噪声诱导转变的机理。应用随机灵敏度函数技术构造了稳定内平衡点附近的置信域，并研究了不同噪声强度下的过渡。

19. 有限规模效应、人口统计噪声

以及生态系统动力学

论文题目：

Finite-size effects, demographic noise, and ecosystem dynamics

论文地址：

https://link.springer.com/article/10.1140/epjs/s11734-021-00184-z

强正反馈被认为是观察生态系统突变的必要条件。之前的一些研究已经表明，人口噪声（demographic noise，由有限系统中出生和死亡过程的概率性和离散性产生的噪声，也称人口统计噪声）会使过渡逐渐发生。本文研究了人口噪声对有限生态系统的影响。研究者使用一个简单的细胞自动机模型，出生和死亡受正反馈过程的影响。研究者以类似教程的格式展示研究者的方法。利用van Kampen的系统规模扩展方法，研究者导出了一个描述有限系统中局部概率规则如何扩展到随机种群动力学的随机微分方程。

模型更新规则示意图。左面板显示了当焦点植物的相邻站点为空时，所实施的基线复制过程。右图显示了当焦点植物的邻近地点被占用时实施的正反馈过程。

研究者证明，作为人口噪声增强的结果，有限规模的生态系统可以显示一个“有效的突变”，即使有微弱的正交互作用。研究者的空间显式模型的数值模拟证实了这种分析预期。因此，研究者预测，小规模的种群和生态系统，在对环境驱动因素的反应中很容易突然崩溃；而较大的系统——具有相同的微观相互作用——则表现出平稳的反应。

20. 利用逻辑操作的临界点

论文题目：

Harnessing tipping points for logic operations

论文地址：

https://link.springer.com/article/10.1140/epjs/s11734-021-00014-2

研究者首先回顾利用混沌吸引子来实现灵活并稳健的逻辑门的想法，并在突变点的背景下重新定义这些概念。其核心思想是:复杂系统中突变点的存在使其具有在参数变化很小的情况下在非常不同的吸引子之间切换的能力，利用这一特性可以获得可靠的逻辑运算。二进制逻辑输出可以有效地映射到不同相空间区域内的动态吸引子，逻辑输入可以通过参数的微小变化进行简单的编码。然后，研究者继续用多输入逻辑操作的新实现来扩展研究者的中心思想。

面板从上到下显示输入流 I1 和 I2（当逻辑输入为 0 时取值为 -0.002，当逻辑输入为 1 时取值为 0.002）和 x(t)（红色）清楚地显示逻辑 OR 输出（x(t )>0 为逻辑输出 1，x(t)<0 为逻辑输出 0)。状态变量 y(t)（绿色）并行产生互补的 NOR 逻辑门响应。其中，A=0.11，ω=0.74，b=0.002

研究者明确地展示了系统在响应多个输入的外部流时一致地跳转，从而提供了更复杂的多输入逻辑门的健壮实现。研究者证明了突变点的存在提供了一个优势，即非常低的振幅输入可以产生高度放大的输出。研究者还证明噪声可以发挥建设性的作用，提高紧急多输入逻辑运算的可靠性，从而加强广义逻辑随机共振的概念。这些结果表明，突变机制可以用于构造通用计算设备，通过微小的参数变化就能有效地重新配置逻辑功能。

21. 热声系统中的临界转变及其预警信号

论文题目：

Critical transitions and their early warning signals in thermoacoustic systems

论文地址：

https://link.springer.com/article/10.1140/epjs/s11734-021-00214-w

许多复杂的系统都经历了关键的转变。热声系统就是这样一个系统，它表现出向振荡不稳定状态的灾难性转变，称为热声不稳定。到目前为止，在层流和湍流系统中，已经设计了几种早期预警信号来检测从稳定运行到热声不稳定的转变。

热声不稳定期间子系统之间反馈机制的示意图。

研究者专注于这些早期预警信号，以及在实际系统中检测振荡不稳定性时所面临的挑战。与层流系统从固定点振荡到极限环振荡的过渡不同，湍流系统表现出从混沌状态到极限环振荡的间歇过渡。在这篇综述中，研究者强调了系统内在波动的重要性，为关键的转变提供早期预警信号。

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