我们如何理解“混沌”？

导语

混沌的存在表明，即使在确定性的系统中，由于其对初始条件十分敏感，也可能无法准确预测未来。但由于有像Smale的马蹄铁这样的工具，我们仍然可以从这些系统中提取有用的信息。David S. Richeson | 作者冶无情 | 译者暮大河 | 审校廖戴丽 | 编辑

1855年，瑞典国王奥斯卡二世宣布了一项由四个数学问题组成的公开挑战。法国博学家亨利庞加莱（Henri Poincaré）专注于其中一个与天体运动有关的问题，即所谓的n体问题：我们的太阳系会无限期地继续其时钟般的运动吗？行星会遁入虚空吗？还是行星会坍缩成炽热的太阳从而死亡？

Will our solar system continue its clocklike motion indefinitely, will the planets fly off into the void, or will they collapse into a fiery solar death?

庞加莱的解决方案表明至少有一些系统，如太阳、地球和月球，是稳定的，而这一方案赢得了享有盛誉的奖项，并于1889年印刷和发行了一篇与之相关的文章。但他的解决方法是不正确的。
庞加莱承认了他的错误，并花钱销毁了他解决方案的复印件（花的钱比得到的奖金还多）。一个月后，他提交了一个更正的版本。他注意到即使是一个只有三个对象的系统也可能表现得过于混乱而不可预测，以至于无法建模。这也是动态系统领域的开端。
He now saw that even a system with only three bodies could behave too unpredictably — too chaotically — to be modeled. So began the field of dynamical systems.
为了达到目的，动态系统可以简化为一个函数，其可能的输出也可以作为输入。这使我们能够将函数的输出作为输入反复代入，从而产生不断变化的行为。正如庞加莱的工作所表明的那样，这个简单的设置可以产生非常复杂和随机的结果，所以它们实际上也被称为混沌（chaotic）。
大约 70 年后，一种便于理解庞加莱结论并为混乱带来秩序的优雅方式出现了。才华横溢的年轻拓扑学家（以及未来的菲尔兹奖章获得者）斯蒂芬·斯梅尔(Stephen Smale)在他写了关于动态系统的第一篇文章后不久，收到了一封信，这使得让他发现了一个相对简单且普遍存在的函数，它解释了庞加莱在三体问题中观察到的混沌。Smale称之为“马蹄铁”（horseshoe）。
为了理解它，让我们从一个不混沌动态系统的简单例子开始。假设你只想用一个简单的计算器计算 2 的平方根。“牛顿法”（Newton’s method）说你可以从任意值开始——比如说3——然后把它代入到函数  。函数的输出值f(3) = 1.8333333，输出值更接近真实值。为了进一步接近真实值，将上一步的输出值作为输入带入函数：f(1.8333333) = 1.4621212。再这样进行3 次得到1.4142136，这可能是计算器准确度的极限。
把第六次迭代表示为“f(f(f(f(f(3))))”有些奇怪，所以我们选择写成  ，并且我们把输出的无限序列称为x的“轨道”。把每次迭代当作时钟发出的滴答声，并且把轨道视为沿着自然数轴接近  的一种跳跃，这样会更有利于理解。

从3和0.5开始的轨道都在靠近  

在这个例子中，我们称  为一个固定吸引点：固定，是因为它围绕  ，  ，…产生固定的轨道；吸引，是因为它像黑洞一样吸收它附近的轨道。
但同样，并非所有动力系统都表现出如此简单和可预测的行为。动力系统的轨道可以有其他行为，例如：周期性地循环通过一组有限的点；趋于无穷或者没有明显的顺序。
为了理解这些对混沌系统来说至关重要的概念，我们考虑一个特别有启发性的例子，称为帐篷图T(the tent map)，它定义了0和1 之间的值x。就像糖果制造商拉“太妃糖”的过程一样：它先将[0,1]区间的长度拉伸到其长度的两倍，然后再将其对折，即区间长度重新变成了1。换句话说：0 和 1 都映射到 0,  映射到 1。因为帐篷图T 产生的值也在 0 和 1 之间，所以它可以是一个动态系统。与牛顿法一样，迭代函数意味着重复拉伸和对折的过程。

帐篷映射，即  ，不断拉伸和折叠区间 [0, 1]。不同迭代函数对应于不同的拉伸和折叠。
正如  的例子中，帐篷图有固定点：0和  。但它也有一个在两点之间交替的轨道   和  ——我们称之为周期为2的轨道，周期为3的轨道循环通过  ,  和  。令人惊讶的是，因为帐篷映射有一个点产生周期为3的轨道，我们就可以证明它有任意周期的点——无论你选择什么正整数，都会有一个重复的轨道，轨道中有且仅有那么多点（Li-Yorke定理）。
第一个发现“实数线上函数”这一事实的是乌克兰数学家亚历山大·沙尔科夫斯基(Alexander Sharkovsky)。然而，他 1964 年关于该主题的论文在东欧以外仍然不为人知，直到 1975 年马里兰大学数学家李天一(Tien-Yien Li)和詹姆斯·约克(James Yorke)重新发现它时，结果才为人所知。他们证明了这样一个动态系统也有不可辨别的轨道，例如帐篷图中的点  产生的轨道。他们写道： “周期为3意味着混沌”，在此过程中创造了数学术语“混沌”-chaos。

帐篷图中的点  产生的轨道没有规律。
更有趣的是，即使点  和点  靠得很近，但它们的轨道很快就分开了：例如   ——  ，而  ，这种现象被称为“对初始条件敏感”，或者更通俗地说是蝴蝶效应。小的初值变化可能导致大的结果变化。正如数学家和气象学家爱德华洛伦兹 (Edward Lorenz) 所说，“蝴蝶在巴西拍打翅膀会不会在德克萨斯州引发龙卷风？”虽然混沌没有固定的定义，但这种敏感依赖性是它的标志之一。
This phenomenon is known as “sensitive dependence on initial conditions,” or more informally as the butterfly effect. Small initial changes can lead to big outcome changes. As the mathematician and meteorologist Edward Lorenz put it, “Does the flap of a butterfly’s wings in Brazil set off a tornado in Texas?” While there is no settled definition of chaos, this sensitive dependence is one of its hallmarks.
为了帮助理解这些混乱的系统——以及 Smale 的马蹄铁——让我们先使用可能第一眼看起来很粗糙的技术。首先，将区间标记为 L 和 R 两部分。然后，随着轨道的前进，只需注意下一次迭代落在哪一半上。这个序列是轨道的“路线”-itinerary。例如，周期为3的轨道的路线，从  开始，是LLRLLRLLR... 因为  和  分别在L和R中。而从  开始的路线则是：LRLRRRRRLL。

帐篷图下，从点  开始，产生一个周期为3的轨道，其路线为 LLRLLRLLR…，从点  开始，产生的轨道形成的路线为 LRLRRRRRLL…
用路线来表示轨道看起来会损失很多的信息，但事实并非如此。这是因为序列中的每个L和R的都对应并且仅对应一个点。例如，从点  开始的轨道路线只能是 LLRLLRLLR…这样的特点为有利于分析帐篷映射的动态结构。这表明，当他们的行程是固定的时，这些点是周期性的。它还允许我们从任何给定的路线中确定一个点的精确位置。
现在让我们将帐篷图延伸到多维度，最终满足 Smale 的马蹄形函数h。从一个正方形开始，将其拉伸成一个细长的矩形，将其折叠成马蹄形，然后将其放在原来的正方形上。

Smale 的马蹄函数将正方形拉伸并在其上放置初始正方形。
Smale’s horseshoe map stretches and folds a square across itself.
与所有动态系统一样，我们可以重复这个过程——拉伸、折叠、拉伸、折叠、拉伸、折叠——实现在“大马蹄铁”中产生“小马蹄铁”。

迭代 Smale 的 “马蹄函数”会产生马蹄铁内的马蹄铁。

我们只需要知道点  的路线，那么马蹄形图就是可逆的。根据  ，我们可以知道  去向何方，通过  ，我们可以知道点  的来处。将  作用于原始正方形，将会产生与第一个正方形成直角的新马蹄形。如果继续这样操作下去，将在新马蹄铁内获得更多马蹄铁。
将这些图像放在一起就可以得到：

这个马蹄形图是可逆的，并且有着两组垂直的马蹄形。

有一组点，我们称之H，它由所有水平马蹄铁和垂直马蹄铁的交点组成。这些点所在的地方会发生一些有趣的事情。

在正方形内的高度不连续的点集H是所有嵌套马蹄铁的交集。
就像帐篷图一样，我们可以分析点的“路线”进而分析马蹄形图。我们将L定义为垂直马蹄形的左侧，R定义为右侧。

我们将马蹄形的左臂和右臂分别表示为 L 和 R，L,R用来生成H中的轨道路线。
现在，如果我们取H中的任意一点，我们就可以计算其轨道“向前”的路线。而且因为马蹄铁是可逆的，我们也可以确定“向后”轨道的行程。
例如，假设我们从 L 区域中的一个点开始，当我们运行前向轨道时，我们会得到循环路线：LRRLRR……，直到无穷。当我们运行后向轨道时，我们得到路线：LRRLRR……。所以我们可以把它的路线写成…  …，下划线表示我们的起点。这是一个周期为3的轨道。
现在对H中的每个点执行这样的操作。

马蹄铁对于每个周期都有对应的周期点，而周期体现在其轨道路线中。
有了这些路线，我们就可以完全理解马蹄形图了，尽管就像帐篷图一样，马蹄形的动态系统很混乱：有着任意周期的点、对初始条件很敏感等等。
现在让我们看看Smale的马蹄铁是如何更清楚地描述庞加莱三体问题中的混沌。在这一混乱的马蹄铁中，必定有一个固定的点p并且其路线为：……  ……因为对于任意的路线都有与其对应的点。这意味着必定还有一点q并且其路线为：......  ......并且还满足q的前向轨道接近点p（我们称之为向前无限接近），q的后向轨道也是如此（我们称之为向后无限接近）。
In his chaotic horseshoe, there must be a fixed point (let’s call it p) with the itinerary …  …, because there exist points of every possible itinerary. That means there must also be a point — let’s call this one q — with the itinerary …  …. The forward orbit of this point approaches p (we say “into the future”), as does its backward orbit (“into the past”).

在 Smale 的马蹄铁图中，点q的路线：...  ... ，在前向路线和后向路线都接近有着路线为 ...  ...的固定点p。
同时，庞加莱观察到某些函数的不动点具有吸引和排斥的方向。这意味着有一系列点构成的曲线向固定点移动，就像静脉将血液送回心脏；同时还有一系列点构成的曲线从固定点散开，就像动脉将血液送入体内。如果这些曲线相交，我们把相交点称为同宿点（homoclinic points），同宿点具一个特性，它们无限向前或向后迭代都会接近固定点。

点q是同宿点，因为它在前后时间都接近固定点p 。当这种情况发生时，曲线会产生同宿缠结并表现出混乱的行为——就像马蹄形一样。

Smale指出上述的q是一个同宿点，因为它的路线在无限向前和无限向后都接近点p 。最重要的是，Smale也证明了相反的情况：如果你有一个同宿点（就像庞加莱所做的那样），那么你就有一个“马蹄铁”。并且既然我们知道马蹄铁是混沌的，那么庞加莱的系统也一定是同样混沌的。换句话说，庞加莱的复杂系统，以及任何具有同宿点的系统都会和Smale的马蹄铁系统表现得一样。所以了解马蹄铁，你就能掌握混沌本身。
Smale还证明了这种混乱是稳定的。如果我们将正方形映射到稍有不同的马蹄形，生成的地图将具有相同的混沌行为。尽管系统中存在局部不稳定，但全局行为非常稳定。也就是说，即使在很小的扰动下，这种混乱也不会转瞬即逝。混沌本身被证明是稳定的。
混沌理论将继续引起公众的注意。它在1986年《科学美国人》的一篇文章中被描述为“科学建模的新模范” ，詹姆斯·格莱克(James Gleick)1987年的畅销书《混沌》的副标题是启发性的：“创造一门新科学”。混沌开始出现在流行文化中，例如1990年的小说侏罗纪公园和汤姆·斯托帕德(Tom Stoppard)1993年的戏剧《阿卡迪亚》（Arcadia）。
虽然一些数学家对这种炒作感到愤怒，因为动态系统毕竟不是什么新鲜事，但混沌系统对数学和科学的影响是深远的。混沌的存在表明，即使在确定性的系统中，由于其对初始条件十分敏感，我们也可能无法准确预测未来。但是由于有着像Smale的马蹄铁这样的工具，我们仍然可以从这些系统中提取有用的信息。
原文链接：https://www.quantamagazine.org/how-mathematicians-make-sense-of-chaos-20220302/

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