本文介绍“混沌”的概念并回顾它的历史、纵观它的发展以及展望它的前景。混沌的概念可以追溯到远古，而现代科学中的混沌理论则是从上世纪六十年代气象学家爱德华·洛伦茨在天气预测研究中发现“蝴蝶效应”开始的。它经历了许多科学家特别是数学家李天岩和詹姆斯·约克的“周期三意味着混沌”理论研究和生物学家罗伯特·梅对生态系统的复杂性研究。今天，混沌的科学理论日趋成熟，并在信息隐藏和流体混合等工程技术中显示出有特色的应用潜力。原文发表于《复杂学》2022年首卷首期。
大家都知道“混沌”这个名词，在生活中它指杂乱无章的行为和现象，但在科学里它是一个非常不一般而且含义很深刻的术语。“混沌”，从字面上不好揣测其科学含义，但换一个说法“蝴蝶效应”就容易理解多了，说的是一只蝴蝶拍一下翅膀可能会引起一场龙卷风。真有那么神奇吗？当然不。但这个比喻的寓意是清晰的：一个微小的初始改变可能会引起巨大的后果。这方面大家经验就多了，不是有“差若毫厘，谬以千里”的说法么？那早已是孔子年代《礼记·经解》里的《易》中说的了，彰显中华民族文化哲理的源远流长、博大精深。不过，“蝴蝶效应”来到现代科学领域，却只是半个世纪之前的事。
今天，“蝴蝶效应”被人们当作成语使用。它来自已故麻省理工学院（MIT）气象学教授爱德华·洛伦茨（Edward Norton Lorenz，1917 年5 月23 日— 2008 年4 月16 日，图1）。图1 洛伦茨（ Edward N. Lorenz）故事发生在1963年。一天，洛伦茨教授如常来到了办公室，用他推导出来的数学方程组做天气预报的数值仿真。当时，他计划把昨天的仿真重复一遍，以保证计算结果准确无误。但是，新的仿真结果让他大吃一惊，画出来的曲线与昨天的记录大相径庭：两条曲线从相同的初始点出发，在起初几周时间点上的预报相互吻合得很好，但随后两者迅速分离，大约两个月后便变得毫不相关了。咦，数学计算公式写错了？计算机程序抄错了？计算机坏了？他反复检查后，发现这些都没有任何错谬。奇怪呀，这可让他百思莫解了。洛伦茨是个严谨认真的科学家。他反复核查、寻踪觅迹，最后发现了两次仿真过程之间的一个微小差异。当年的计算机运算精确度只到达小数点后6 位数字，因此他在昨天的计算中输入了初始值0.506127。但今天他偷懒，输入0.506就算了。这不到千分之一的四舍五入没啥事吧？不！现在他发现自己错了，这影响其实很大。于是，在随后的几天里，洛伦茨一再验算了使用多种略微不同初始值的仿真，终于证实了他悟出的道理：由于这个天气预测数学模型对初始值具有高度敏感性，一个微小的初始误差在反复迭代计算之后酿成巨大的结果差异，导致了该模型估算未来天气行为的不可预测性。图2解释了洛伦茨当时的仿真结果：两条起始邻近的曲线开始时并排向前移动，但慢慢便分道扬镳了。![]()
图2 红色和蓝色是洛伦茨天气数学模型两个不同解的轨迹，黑点为初始值。
洛伦茨以此为题材发表了一篇论文，指出：“两个状态之间不被察觉的微小差别可能最后演化为巨大的不同……因此，如果在观察当前状态时不管有什么样的误差——在任何真实系统中这些误差是不可避免的——那么对于一个不太久远的未来瞬间状态做出任何可接受的预测都将是不可能的……非常长期的准确天气预报看来并不存在。”当年洛伦茨估算，准确的天气预报最多在两周时间之内还是可以做到的，再长时间就不保证了。今天，由于有高速计算机和大数据支持，这个时间段延长了，不过也达不到三周。这方面大家都有体会：谁能说得清，明年的今天会是什么样的天气呢。后来，为了向公众解释这种特别的现象，洛伦茨在1972 年把一篇科普文章取题为：“在巴西的一只蝴蝶拍打一下翅膀会在得克萨斯州引发一场龙卷风吗？”这里题意自明。从此之后，在各种各样的科学文献、文学作品和人们日常生活里便出现了一个新成语：“蝴蝶效应”。与之相应的一套数学理论和物理解释便形成了今天大家看到和听到的“混沌理论”，它描述了各种自然和人造系统中的“蝴蝶效应”即对初始条件高度敏感的动态特性，以及由此衍生出来的许许多多生动复杂的变化和现象。
洛伦茨关于大气变化的数学模型是由微分方程来描写的，在数学上叫做“连续时间系统”: ![]()
，其中x, y, z是变量。这个特别的连续时间系统就是上面介绍洛伦茨做仿真时使用的数学模型，后人称之为洛伦茨系统。相应地，也有“离散时间系统”，由差分方程来描述。这些方程都是非线性的。1975年，马里兰大学的数学家李天岩（Tien-Yien Li，1945-2020）和詹姆斯·约克（James A. Yorke，1941-）发表了一篇离散时间系统的论文，题为“周期三意味着混沌”，首次使用“混沌”这个名词并以严格的数学论证来描述了“蝴蝶效应”。接着，1976年，他们的好友、普林斯顿大学的生物学家罗伯特·梅（Robert M. May, 1936-2020）在《自然》杂志上发表了一篇论文，作为对生态系统的刻画给出了一个貌似简单但行为复杂的离散混沌系统的例子，由名为 Logistic系统的差分方程模型来描述。![]()
图3 约克-李天岩-梅（James A. Yorke，Tien-Yien Li，Robert M. May）大家在中学都学过代数二项式，例如4x(1-x)，其中x是个变量，它导出了离散差分方程x[k+1]=4x[k](1-x[k])，其中x[k]是x在离散时间点k上的取值，k=0, 1, 2…。这就是罗伯特·梅的例子，它能够清晰地表达“蝴蝶效应”，如图4所示。![]()
图4 Logistic差分方程对初始条件的高度敏感性这个Logistic差分方程描述了许多离散混沌现象，其中最为有趣的就是，它有周期为3的解，从而如李天岩-约克的“周期三意味着混沌”论文所证，还有无穷多个各种周期的解，因此它的行为表现得很“混沌”。简而言之，有“三”就会有“全部”。大家也许会想起中国的老子（约公元前600-470年）在《道德经》四十二章中说的：“道生一，一生二，二生三，三生万物”，指从“无名道化”(零)开始，先有“混沌元气”(一)，然后有“阴阳二气”(二)，接着这“阴阳之和”(三)，便生出了“世间万物”。两者应该只是巧合，不过其中的哲理则是相通的。至此，可以归纳一下“混沌”的概念和含义。粗略地说，“混沌”是很多自然和社会系统的一种不寻常的性态和特征，它最基本的特性是对初始条件的高度敏感性，即“蝴蝶效应”。此外，它表现为局部活跃（不收敛）、全局有界（不发散）、非严格周期（无穷多个周期组份的复合）的运动状态。具体一点来说，混沌系统是局部不稳定的，即不会收敛到一个地方然后就不动了；它又是全局稳定的，即不会发散到无穷远处而消失了；它还在近乎周期却不是严格周期地变化，犹如一年四季周而复始但每年都会有一些差异那样。混沌形态的本质是确定性的但却貌似随机，就象天气预报那样是长时间不可预测的。
科学的任务是解释自然世界，技术的目标才是为人类社会服务。“混沌”主要是一门科学，揭示自然界和人类社会中的某些内在规律，让我们更加明白自身之外的事物发展变化的原因和过程，进而帮助我们去发展先进技术以改良世界为人类服务。和其它学科一样，“混沌”理论在演进的过程中也逐步被利用来发展一些有用的技术。比较容易理解的是流体混合和信息隐藏。不妨想象一下，要把两种不同的溶液充分均匀地混合在一起，“混沌”的搅拌效果总比均匀的搅拌要好，大家在日常生活中搅拌饮料就很有体会。至于信息隐藏，图5展示了一个简单例子，左边李兆良先生的书法图片通过“混沌”技术打乱了以后成为右边的样子，原来的信息就很难辨认了。主人自己知道是怎样处理的，当然可以还原，但其他人就无法把原图重构出来。![]()
此外，“混沌”理论在电子设备、机械振动、数据存储、生物医学等方面都还有一些应用，并且仍在发展过程之中。
“混沌”科学的远景就像它本身一样“长时间不可预测”。由于它特有的复杂性，对它的理论研究还需长时间的深入和推广，对它的应用研究还需要更多的尝试和开拓。可以乐观期待的是，混沌科学作为复杂性科学的一个重要分支和组成部分将会为科学与技术的总体发展作出自身不可或缺的贡献。21世纪是复杂性的世纪，理解混沌是探索复杂性的关键环节。在科学、工程中，混沌与非线性方法已经成为研究动态系统的主要手段，加深了对气候、生态、大脑、流行病等诸多复杂系统问题的理解，并在湍流、加密、数据分析以及生命科学中有广泛应用。在社会、商业领域，混沌理论在通讯、交通、金融市场、疾病与信息传播等问题中亦有诸多启发和应用。随着混沌现象的进一步系统研究和广泛应用，它正在从一套理论发展为一门科学。
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