前沿进展：集体行为的演化动力学，趋同还是趋异？

导语

各类物理、生物以及社会的复杂系统往往由数量庞大的个体单元组成，这些个体的行为彼此影响从而构成了系统层面上丰富多样的集体行为模式，如何对个体行为、个体间影响以及与之对应的整体系统动态进行描述分析是系统问题中的核心任务。在最近发表在 Journal of Physics: Complexity 的一项研究中，研究者对于集体行为中广泛出现的系统趋同和趋异演化现象，提出了一个广义拉普拉斯动力学模型进行描述，趋同和趋异的局部动力之间相互竞争从而诱导系统整体的动力学演变。
研究领域：集体行为，集体动力学，复杂网络，拉普拉斯动力学

徐蕴辉 | 作者

论文题目：Laplacian dynamics of convergent and divergent collective behaviors论文连接：https://iopscience.iop.org/article/10.1088/2632-072X/acd6cb

目录

一、 集体行为及其动力学

二、局部和全局动力学分析

三、实验模拟与理论难点

四、总结

一、集体行为及其动力学

集体行为是指一群具有相互作用的个体（例如动物或人）所表现出的行为活动[1]。这些发生在不同系统中的集体行为具有一个共同特征，在不同尺度上各单元的行为大多表现出趋同或趋异的演化趋势，即单元的行为倾向于变得更加相似或更加不同。
在相似的环境当中，具有相互作用或相同选择压力的种群可能会沿着相近的路径进化[2-4]，例如鱼龙和海豚为了适应水生环境，它们的前后肢都逐渐进化为功能上相似的鳍状肢；而当这些种群经历了不同的选择压力时，则可能会沿着发散路径发生进化[5-7]，例如加拉帕戈斯群岛上的达尔文雀，为了适应岛上不同的生存环境和捕食需要，进化出了截然不同的体色，鸟喙形状和体型大小。在外部发生剧烈震荡时，人们会倾向于表现出相同的社会行为（消费习惯，意见观点），在外部影响解除后人们的行为则又呈现出个性化趋势[8-10]，例如在COVID-19疫情爆发期间，人们的消费行为较疫情前呈现出更强的相似性，而在疫情平稳期消费则一定程度上恢复多样性。而与个体行为相关的集体动态则会随之产生时间变化，从而导致系统整体的复杂演化现象。
最近在 Journal of Physics: Complexity 上发表的研究论文《Laplacian dynamics of convergent and divergent collective  behaviors》中，针对集体行为中广泛出现的趋同和趋异现象，作者提出了一个简单的模型框架用以描述集体行为的趋同和趋异的动力学倾向，并讨论了随时间推移的演化趋势的动态转变。该框架可作为一个用来表征不同真实集体动态的极小模型。研究的计算实验表明，局部相互作用中的趋同和趋异倾向之间的平衡，导致了模型趋同和趋异演化之间的类似相变现象。作者对该潜在相变机制提出了一个可能的解释猜想，并总结了验证该猜想的理论难点。

二、局部和全局动力学分析

1. 如何描述趋同演化：从局部到全局
对于一般的动力学演化的局部过程，考虑一个n维抽象特征空间，每个元素s∈S代表了系统单元一个可能的抽象状态坐标。根据当前时刻t∈T每个单元σ_i∈V的状态s_i(t)=s(σ_i(t))，以及与σ_i邻近单元的相互作用（邻近单元的集合记为N_i⊂V），系统将遵循某种局部演化规则ψ对所有单元σ_i的状态进行更新，记为。
其中邻近单元集合N_i⊂V可定义为，而是任意距离度量函数，Δ是决定相互作用距离的参数，应当注意的是N_i会随系统时间演化同样发生改变。
在趋同性演化过程中，每个单元σ_i会向特征空间中其当前时刻的邻域中心靠近，具有如下数值表达式，

图1. 研究中的集体动力学模型概览
注意到（1）可在图的定义下被改写为，其中代表由作用距离诱导的图上单元的度，A(t)代表该系统在t时刻的时变邻接矩阵，是Heaviside阶跃函数，与邻接矩阵对应的时变拉普拉斯矩阵L_ij(t)。
最终得到反映系统整体趋同演化的动力学方程如下所示
 其中代表系统整体状态矩阵，v_c(t)代表单元在特征空间中的位置s_i(t)向其邻域中心的趋向速度，q(t)代表基于节点度的约化矩阵，代表Schur乘积运算。
2. 如何描述趋异演化：从局部到全局
理论上将趋同演化动力学方程（2）中的趋向速度项-v_c(t)替换为v_d(t)（代表每个单元都分别远离各自的邻域中心），即可得到有关趋异演化的动力学方程。然而这在作者的研究框架中是不合理的，这是因为传统力学概念在抽象特征空间中并不适用，这导致相反的特征方向在真实情况下并不能真正描述趋异性演化。比如在特征空间中描述对各种饮料的偏好性，不可能精确的定义某个方向与“偏好咖啡”相反。为了解决这一问题，作者采用一种较弱的假设。
作者使用与图拉普拉斯矩阵L(t)有关的矩阵来表示趋异演化方向，其中是Moore–Penrose伪逆记号[11]，通过矩阵调整图的边，进而控制节点单元之间的相似性，与之对应的趋异演化动力学方程如下

其中v_d(t)代表趋异速度，代表L(t)的Moore–Penrose伪逆，q^-1(t)与趋同演化方程中q(t)性质类似，对方程基于节点的度进行约化。
将趋同演化动力学方程（2）和趋异演化动力学（3）合并，即可得到完整的联合动力学方程如下
 式（4）本质上代表一种更加复杂的广义拉普拉斯动力学[12-14]，尽管具有简洁的形式，但由于其中算子的时变性，其表现出的动态特性是复杂的。在局部拓扑的作用下，趋同演化和趋异演化之间的竞争表现为算子L(t)和之间的非平凡相互作用。

三、实验模拟与理论难点

1. 同质性系统的均一运动实验模拟
为了体现由式（4）主导的演化方程的动力学特性，作者考虑了一个同质性系统（所有单元具有相同的内在特征）作为特例，并且给定演化的趋向速度项以及趋异速度项，此时系统的演化方程可简写为如下形式

为了方便可视化，作者在一维特征空间中随机初始化进行数值迭代模拟，得到如下图所示的数值结果。可以看到x/y的不同大小，也即趋同和趋异的内在强度之间的差异，导致了不同的集体行为趋势。较大的趋同速度x会使系统沿趋同方向演化，与之相对的，较大的趋异速度y则会使系统沿趋异方向演化。
图2. 随机初始化下的数值实验结果
同时为了定量分析趋同和趋异演化现象，作者研究了时变传播矩阵H(t)的特征值谱性质（其标准矩[15]）。同时作者考察了伴随演化过程，系统中的平均k-距离的变化情况，如下图所示。可以看出平均k-距离在演化过程中表现出明显的变化；在系统动力学随时间收敛至极限之前，特征值谱的标准矩在趋异演化过程中急剧增加，而在趋同演化过程中逐渐减小。
图3. 矩阵的特征值谱及状态空间中的平均k-距离变化情况
2. 解析该动力学问题的数学难点
作者在文章最后对解析该研究中的动力学方程（4）的数学难点进行了分析，其中的主要挑战来自于预测同质性系统的极限行为的非平凡性，即趋同相和趋异相的分类依赖于系统演化收敛后的极限状态。
首先传播矩阵H(t)中节点度约化q(t)和q^-1(t)的作用不能被忽略，它们的存在破坏了系统的局部拓扑性质，使得系统沿各个特征向量上的作用不再均匀。表现为传播矩阵的特征值与拉普拉斯矩阵L(t)的特征值λ_i(t)之间并不存在直接的数值关系，二者的特征向量亦如此，这也是该系统分析中非平凡性的主要来源。
此外另一个难点在于传播矩阵H(t)并不随时间对易，即对于任意两个不同的时刻，有。因此不能效仿处理传统拉普拉斯动力学时通过指数型传播子得到理论解（该式是不正确的），而需要严格进行数值迭代求解，这也为解析带来了难度。
对于该部分的详细阐述，读者可参见原文的相关内容。

四、总结

在这篇工作当中，作者提出了一个用于描述集体行为演化中的趋同趋异现象的极小动力学模型。尽管有着简明的数学形式，该模型却表现出丰富的非平凡动力学行为，并表明在局部相互作用控制下的趋同和趋异演化之间可能存在类似相变的现象。在分析求解该模型中难以处理的非平凡动力学问题，可能会激发后续研究者使用新的数学工具对集体行为的数学物理性质进行研究。此外由于该模型在计算上的简便，使之可能在其基础上发展大规模的集体行为模拟。

参考文献

[1] Naldi G, Pareschi L and Toscani G 2010 Mathematical Modeling of Collective Behavior in Socio-Economic and Life Sciences (Berlin:  Springer Science & Business Media)[2] Khatri B S, McLeish T C and Sear R P 2009 Proc. Natl Acad. Sci. 106 9564–9[3] Powell R and Mariscal C 2015 Interface Focus 5 20150040[4] Stayton C T 2015 Interface Focus 5 20150039[5] Sitarz M and Maksymowicz A 2005 Int. J. Mod. Phys. C 16 1917–25[6] Vogwill T, Phillips R L, Gifford D R and MacLean R C 2016 Proc. R. Soc. B 283 20160749[7] Zeldovich K B and Shakhnovich E I 2008 Annu. Rev. Phys. Chem. 59 105–27[8] Castellano C, Fortunato S and Loreto V 2009 Rev. Mod. Phys. 81 591[9] Flierl G, Grünbaum D, Levins S and Olson D 1999 J. Theor. Biol. 196 397–454[10] Takayasu M, Sato K, Sano Y, Yamada K, Miura W and Takayasu H 2015 PLoS One 10 e0121443[11] Barata J C A and Hussein M S 2012 Braz. J. Phys. 42 146–65[12] Altafini C and Lini G 2014 IEEE Trans. Autom. Control 60 342–57[13] Fax J A and Murray R M2004IEEETrans. Autom. Control 49 1465–76[14] Veerman J P and Lyons R 2020 arXiv:2002.02605[15] Larsen R J and Marx M L2005 AnIntroduction to Mathematical Statistics (Hoboken, NJ: Prentice Hall)

（参考文献可上下滑动查看）

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