【抛物线压轴题】面积、距离差定值问题（以2015·河南23为例）

 近两年，河南中考数学试卷相比较往年，有较大变化：如加大了对于绝对值|x|的考察，如2015年中考卷第19题，2016年中考卷第21题，这两道题分别考察绝对值的性质和数形结合思想；再如2015年中考第23题，第（2）、（3）问就体现了高中“抛物线”的定义。也就是说，中考卷正体现出高中知识初中化的趋向。

      本文就从高中“抛物线”的定义进行分析，带你重新认识2015年河南中考的这道中考题。

抛物线的定义

平面内，到定点F与定直线l的距离相等的点P的轨迹叫做抛物线。其中定点F叫抛物线的焦点，定直线l叫抛物线的准线。

2015 · 河南中考   

23.（11分）如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A、C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F. 点D、E的坐标分别为（0，6），（－4，0），连接PD，PE，DE.

（1）请直接写出抛物线的解析式；

（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值.进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值.请你判断该猜想是否正确，并说明理由；

（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”.请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE的周长最小时“好点”的坐标.

分析

第（1）问：比较简单，顶点C坐标易得(0,8)，设y=a(x-h)²+k然后代入点A(-8,0)坐标可解。

第（2）问：点D（0,6）其实是这条抛物线的焦点，直线BC：y=8相当于抛物线的准线y=10向下平移两个单位得到。因此，PD与PD的差为2.当然，在这里，我们还不能使用高中的焦点、准线等抛物线相关知识解决，需要用两点间距离公式（公式见参考答案）求解。

第（3）问：好点有两类，一类是△PDE面积为整数，另一类是△PDE周长最小；分别研究.

①△PDE的面积可以采用分割法进行求解：S_△PDE=S_△POE+S_△POD 

_- S_{△DOE.然后利用二次函数限定范围上最值得到此类好点的个数.}

_{②△PDE的周长最小：周长由三条线段DE、PD、PE组成，DE为定值10，因此只需PD+PE最小，很自然想到最短路径问题——作定点D或定点E关于动点所在直线的对称点，但是动点在抛物线上，而不是直线上，所以，做对称点是不可能的。还好，我们有第（2）问做铺垫，由第（2）问的结论PD-PF=2，有PD+PE=(PF+2)+PE=PE+PF+2，周长最小就转化为PE+PF+12最小，也即PE+PF最小。而E为定点，P、F为动点，且PF必须垂直BC（}因为表示距离_{），因此当E、P、F三点共线且垂直于BC时PE+PF最小，此时P与E横坐标相同，可得此时题中所谓的“好点”的坐标。}

参考答案

手写参考答案

注：点击可查看高清大图。

       笔者在2015年教授初三时，曾在《说明与检测》上见过一道类似题目，也是通过两点间距离公式证明抛物线上动点P到对称轴上的点F（焦点）的距离与到某直线（平行于准线）的距离之差为定值。当时只觉很偶然，谁料想中考竟然出了这个问题！

        后来，又在新版《说明与检测》上见到一道类似题目，摘抄在下面，供读者练习使用。

2011 · 四川眉山 · 中考数学 · 第26题  

(11分)如图,在直角坐标系中，已知点A(0，1)，B(-4,4)．将点B绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，顶点在坐标原点的抛物线经过点B．

 (1) 求抛物线的解析式和点C的坐标；

(2) 抛物线上一动点P,设点P到x轴的距离为d₁，点P到点A的距离为d₂，试说明d₂=d₁+1；

 (3) 在(2)的条件下，请探究当点P位于何处时．△PAC的周长有最小值，并求出△PAC的周长的最小值.

参考答案

老杨有话说Tips

      由此可见，2015年的河南中考23题改编自2011年眉山中考26题。考察内容如出一辙！这也再次说明了历年中考题对当年考生的重要性。出卷人凭空编造一道题是不常见的，多数情况下都是从往年的其他地市的中考题进行改编、创造。

     因此，备考的同学们要注意做本地中考题外，适当做一些其他地市的中考题，以拓宽自己的解题水平和认知水平。

      此外，适当地提前预习一些高中数学的知识（如两点间的距离公式等）对于初中数学的学习也是大有帮助的。本文关于抛物线的焦点、准线的相关知识，请读者自行搜索或者翻看高中数学教材“圆锥曲线”章节进行了解。

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