【抛物线压轴题】等腰三角形存在性的新考法

抛物线压轴题

等腰三角形存在性2018.1.14

（2016•道外区一模）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax²+bx+5与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C．直线y=x+2经过点A，交抛物线于点D，AD交y轴于点E，连接CD，CD∥x轴．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，过点A的直线交抛物线第四象限于点F，若tan∠BAF=1/2，求点F的坐标；

（3）在（2）的条件下，P为直线AF上方抛物线上一点，过点P作PH⊥AF，垂足为H，若HE=PE，求点P的坐标．

解法提示

（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，根据平行于x轴的直线上点的纵坐标相等，可得D点的纵坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据正切函数值，可得关于t的方程，根据解方程，可得t的值，根据第四项限内点的横坐标大于零，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；

（3）画出简图如下：

HE=PE,如果采用两点间距离公式，困难是点H坐标不好表示，且含有2次方，表示边长时会出现4次方，超出我们的计算能力。因此，采用几何方法求解。我们有如下两种思路(请看动画展示)：

思路一：

HE=PE，表明△EPH为等腰三角形，见等腰三线合一作高，过E作EG⊥PH于G，则G为PH中点，且易得EG//AF。见斜线段，想办法转化为竖直线段。可以用竖直线段PN表示斜线段PH。下面，有两种选择：

（I）用竖直线段PN表示斜线段PH，再得其一半GH，而GH长等于平行线EG、AF间的距离，距离由AF与y轴交点M和点E决定，EM=3，再过E作AF垂线EQ求其长度值，等于GH即可。

（II）G为PH中点，可以借助平行线，构造中位线GI=1/2PN，而四边形EMIG为平行四边形，所以IG=EM=3，所以PN=6.所以，yP-yN=6即可。

思路二：

见到等腰（EH=EP），还有底角处的垂直（PH⊥AF），想到构造“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的图形，延长PE交直线AF于点Q，则E为PQ中点。设P坐标，由E坐标，借助中点坐标公式，表示点Q坐标，代入直线AF即可求解。

参考解答

解法一：（此法比较麻烦）

解法二、三：

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练习巩固

参考答案：

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