【抛物线压轴题】面积最值、面积比问题

抛物线压轴题

面积最值、面积比2018.1.18 [难度：]

（2017•鄂托克旗模拟）如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（5，0）两点，与y轴交于点C（0，5）．

（1）求该抛物线所对应的函数关系式；

（2）D是笫一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连结BD、CD．设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．求S关于m的函数关系式及自变量m的取值范围；当m为何值时，S有最大值，并求这个最大值；

（3）直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．

解法提示

（1）提供两种方法：

方法一：交点式

设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-5）

由抛物线与x轴的两个交点坐标可设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-5），将点C（0，3）代入抛物线解析式中即可得出关于a一元一次方程，解方程即可求出a的值，从而得出抛物线的解析式；

方法二：一般式

设抛物线解析式为y=ax²+bx+c,代入点A、B、C坐标，求解三元一次方程组，得到解析式。也可先由C坐标得到c=5，把A、B代入，求解关于a、b的二元一次方程组，从而求得解析式；

（2）设D（m,-m²+4m+5）,0<m<5.

提供两种方法：

方法一：铅垂线法分割求面积

借助已经作出的铅垂线DF，先求直线BC解析式，再由D、E横坐标相同，表示点D、E坐标，得到线段DE的长（纵坐标之差），再以DE作为底边，表示△ADE和△BDE的面积之和，求得S关于m的函数关系，配方求得最值；

方法二：连接OD割补法求面积

连接OD，则△BCD的面积就可以看做四边形OCDB的面积减去三角形BOC的面积，而四边形OCDB的面积等于△COD与三角形BOD面积之和。即：S_△BCD=S_△COD+S_△BOD-S_△BOC.然后求得S关于m的函数关系式，配方求最值。

注：这两种方法前面两天已讲过，可以点击下面文字跳转查看：

（3）结合图象可知△BDE和△BFE同高，由此得出它们的面积比等于底边之比，即DE：EF。分两种情况考虑：①DE：EF=2:3；②DE：EF=3:2。用D、E、F纵坐标的差表示线段DE、EF的长，进而建立方程，求解即可得出m的值，将其代入到点D的坐标中即可得出结论．

参考答案

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