【抛物线压轴题】等面积存在性

抛物线压轴题

等面积存在性2018.1.25[难度：☆☆]

（2017•正定县一模）如图1，在平面直角坐标系中有一Rt△AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线l：y=-x²+bx+c经过A、B两点．

（1）求抛物线l的解析式及顶点G的坐标．

（2）分别连接CG，DG，求△GCD的面积．

（3）在第二象限内，抛物线上存在异于点G的一点P，使△PCD与△CDG的面积相等，请直接写出点P的坐标．

解法提示

（1）先求得点A和点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式，可求得b、c的值，从而可得到抛物线的解析式，最后依据配方法可求得点G的坐标.

（2）过点G作GE⊥y轴，分别求得梯形GEOC、△OCD、△GED的面积，最后依据S_△CDG=S_梯形GEOC-S_△OCD-S_△GED求解即可；

（3）法一：借助平行线解决

请看动画：两三角形同底等高，则面积相等。因此，借助平行线解决——公底边的等面积问题。

因此，过点G作PG∥CD，交抛物线与点P．先求得直线CD的解析式，然后可得到直线PG的一次项系数，然后由点G的坐标可求得PG的解析式，最后将直线PG的解析式与抛物线的解析式联立，最后解得点P的坐标即可．

法二：铅垂线法表示△PCD的面积，或者连接OP，用割补法。令其面积等于S_△CDG即可。

参考答案

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