【2018·于新华·南京讲座】学习笔记——抛物线的几何性质

2018年8月5日至8月6日，常州市武进区教研员，江苏省数学特级教师，全国知名解题研究专家于新华老师（人称“于头”）在江苏南京开展了为期两天的中考数学压轴专题讲座，来自全国各地700多名数学教师汇聚一堂，亲眼目睹于头风采，聆听大师教诲，佩服尊敬之情由心而发，临走前均表露出依依不舍之情.

笔者也是第一次聆听于头现场专题讲座，震撼之余，对于头系统有了进一步的理解.本文拟对这次专题讲座作部分记录，以表对于头的敬仰之情，因笔者能力等各种原因导致的不足之处，望于头海涵（很多文字来自于头语录，不再一一注明）.

先从笔者最感兴趣的“抛物线的几何性质”谈起：

09.  抛物线的几何性质

反思：本题第（3）问，这里采取了上述所谓的“定义性质”，其实质为“变量巧设”，即巧设边长PG＝k，为接下来用k表示相关线段的边长提供方便；

基于确定性思想，借助因果法分析，除了动点Q引发的点E与点F的运动，其他点都是确定的（死的），因而只需用字母表示动点Q的相关量（可以是线段长，也可以是坐标），然后用该字母表示出目标线段，问题便可迎刃而解；

总之，目标定了，方向对了，剩下的也就是坚持计算了；

换言之，一次函数的“纵横比”等于其一次项系数k的绝对值，与常数项b无关.

这里之所以含有绝对值，是因为“纵横比”等于线段之比，只能非负.

“纵横比”往往代表图像的“方向”，即一次函数的图像上任意两点之间连线的方向是不变的.一般地，对于一组平行直线，它们的“纵横比”是相等的.

换言之，反比例函数的“纵横比”等于其比例系数k与选取两点横坐标之积的商的绝对值，即反比例函数的纵横比不仅与比例系数k有关，还与选取两点的横坐标之积有关.

换言之，二次函数的“纵横比”与其二次项系数、一次项系数以及选取两点横坐标之和有关.

反思：“纵横比”的概念是由于头首创的（至少笔者知道的是这样），看似其与高中知识中的斜率k等相关，但前者的应用更加广泛，而且易于被初中学生接受，毕竟它就是两条线段的比值而已，而且是坐标系中的“铅垂线段”与“水平线段”之比值，可类比正切定义的由来；

“纵横比”从几何意义上代表“方向”，当“纵横比”确定，其方向也确定，反之亦然.由此可见：一组平行直线的“纵横比”相同，相互垂直直线的“纵横比”也是相关的.事实上，它们之间的乘积为1（注：相互垂直的两条直线，其对应的一次项系数乘积为－1）.

反思：本题收录于本人新著《广猛说题——中考数学压轴题破解之道》中“垂直处理”专题，是笔者根据于头所提“纵横比”的概念与“垂直处理”中几何方法的完美结合，从直线到双曲线，问题的设置与难易程度层层递进，对于学生阅读理解能力以及分析问题、解决问题的能力要求较高.

于头常说：“想有背景，解不超纲；上下贯通，灵活自如.”借助此题，说明如下：

反思：基于“纵横比”原理，结合平移思想，可以说抛物线中隐藏着的这个有趣结论真被秒杀，并且还可以得到一个更有趣的结论，即一组平行线与抛物线相交时，两交点的横坐标之和相等，此即下文即将解说的“平行弦性质”；

上述【“解”不超纲】，其实质仅仅是对“纵横比”加以推导而已，呼应了【“想”有背景】，唯有知其然，并知其所以然，方可【上下贯通】，达到【灵活自如】；

若不采取“纵横比”的相关原理，还可以采用以下基本解法：

反思：第（2）问采取了平行弦性质，本来需要较复杂的计算求交点坐标，但这里真正意义上做到了口算，惊艳到无以复加，真是妙不可言；

当然，作为解答题，平行弦性质不可直接使用，但这难不倒我们，只需要将前面有关平行弦的推理过程写一下，作为解题的引理，无任何问题可挑，下文亦然，不再复述；

切记：知其然并知其所以然！否则，还不如不知然！

退一万步讲，考试中，可以利用求交点坐标的一套方法来书写过程，真正计算却采取平行弦性质口算，或者将平行弦性质作为检验工具使用；

但我们心中清楚，这一切的根由都是因为书中并未提及此性质而已，可它确实客观存在，而且结论极其简洁，证明也不复杂.换言之，是残酷的现实埋没了平行弦的“惊艳”与“价值”，这一点，作为数学研究爱好者的我们，心中要清清楚楚.

反思：见到抛物线中的平行线，联想到平行弦性质，这里的解法精彩到极致，简直让人目瞪口呆，对于头的敬仰之情再次浮上心头；

若不采取平行弦性质，本题可以带参运算，用含n的代数式表示出相关线段，列出方程，加以求解，计算量较大；

值得一提的是，本题前两问，在笔者新著《广猛说题——中考数学压轴题破解之道》中有相关解题策略，尤其是第（2）问中的平行四边形存在性问题，这里只需采取新书中的解题策略，分两类盲解盲算即可，敬请查阅.

四、中点弦性质

如图，在抛物线上任取六个点A、B、C、D、E、F，其中AB∥CD∥EF，且M、N、T分别为AB、CD、EF的中点，则M、N、T三点在同一条直线m上，且直线m与该抛物线的对称轴平行（或重合）；

除此之外，过直线m与该抛物线的交点P，作直线AB的平行线l，则直线l与抛物线相切.换言之，直线l与该抛物线有且只有一个公共点.

上述结论用文字可翻译为：“抛物线上一组平行弦的中点在同一条与该抛物线对称轴平行（或重合）的直线上，且过该直线与抛物线的交代作这组平行弦的平行线是该抛物线的切线（即与抛物线有且只有一个公共点）.”这个结论可称为“中点弦性质”.

虽然用文字语言叙述结论虽稍显啰嗦，但更易于理解记忆，这也是文字的巨大魅力之所在.事实上，考验一个学生有没有真正理解某个问题（或命题等），更重要的不是让他做出来或写出来，而是让他说出来，说清道理，这才是难点，也是当前学生的普遍弱点.

利用上述的“平行弦性质”，可以说“中点弦性质”的说理就变得水到渠成了，不再赘述，请自行独立思考.

更加莱斯的是，在抛物线上任取三点，从中任选两点作一条直线，过第三个点作抛物线对称轴的平行线（或重合），再过前两个点向该平行线作垂线段，上述结论始终成立，譬如上图（右）所示.

反思：这里的字母看似较多，其实仅是为了考虑一般情形而已，很多字母都代表常量.若是解决一个具体问题，其证明过程极其简洁，说白了，就是“两式和为定值，求两式积的最大值”.

反思：本题后两问都涉及面积处理，前一个面积问题属“两定一动型”，只需过其中的动点作y轴（或x轴）的平行线，与（定）对边所在的直线相交，将所求三角形分割（或增补）成两个三角形面积之和（或差），这里还直接利用了例3中的结论实现秒杀；

后一个面积问题则属“三动型”，情境更加复杂，但这里存在着变化中的不变量，即P、Q两点之间的水平距离，其解题的关键正是抓住这个不变量.类比前一个问题，过动点D作“竖直线”，将其分割为含“竖直边”的两个三角形面积之和，体现了化斜为直，改“斜”归正的基本解题意识；

值得一提的是，最后一问还引进了变量，体现了函数思想；另一方面，还运用了“于函定理”，将“铅垂高”转化成“水平宽”，实现了“纵横转化”，这也是该法最精彩、最让人拍手叫绝之处.否则，本题需要引进多个变量，采取设坐标法，借助繁琐的含参运算，建立相应的函数模型来求最值，真是“暴力的不要不要的”.

总结的话：本阶段主要就于头南京讲座中抛物线的几何性质，作了一个简要的探究，从抛物线的“定义性质”到价值较大的“纵横比性质”，由此导出了“平行弦性质”，再到“中点弦性质”，“于函定理”及其新推导出的面积坐标公式，这些性质，层层铺垫，步步为营.

对这几个结论的探究，过程完整，系统完备，她对一帮跟随于头脚步的教师启发甚大.当然，因笔者才疏学浅，如能力等方面，可能达不到于头的高度.若属实，在此特别向我敬仰的于头致一万声歉意.

学而不思则罔，思而不学则殆.学与思，只有齐头并进，才能迸发精彩；只有反思琢磨，才能内化能力；只有赤子之心，方能如梦以偿.希望，本文的整理对于读者的你有所触动，并在今后的教学中，根据学情以及自身特点，适当合理地运用所学，更好地服务于广大学子们！学以致用，才是真理！我想，这正是于头每年开设全国教师培训专题讲座最大的动力之源泉！

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