【数学故事】少年，考考你！用直尺和圆规画出正十七边形！
不知道全部真相，对许多人许多事来讲未尝不是一件好事。
——萧伯纳
（点上面的音频图标，听下面的数学故事）
【故 事】
1796年的一天，德国哥廷根大学，一个很有数学天赋的19岁青年吃过晚饭，开始做导师单独布置给他的每天例行的三道数学题。
前两道题在两个小时内就顺利完成了。第三道题写在另一张小纸条上，要求只用圆规和一把没有刻度的直尺，画出一个正17边形。
他感到非常吃力。时间一分一秒地过去了，第三道题竟然毫无进展。这位青年绞尽脑汁，但他发现，自己学过的所有数学知识似乎对解开这道题都没有任何帮助。
困难反而激起了他的斗志：我一定要把它做出来！他拿起圆规和直尺，一边思索一边在纸上画着，尝试着用一些超常规的思路去寻求答案。
当窗口露出曙光时，青年长舒了一口气，他终于完成了这道难题。
见到导师时，青年有些内疚和自责。他对导师说：“您给我布置的第三道题，我竟然做了整整一个通宵，我辜负了您对我的栽培……”
导师接过学生的作业一看，当即惊呆了。他用颤抖的声音对青年说：“这是你自己做出来的吗？”
青年有些疑惑地看着导师，回答道：“是我做的。但是，我花了整整一个通宵。”
导师请他坐下，取出圆规和直尺，在书桌上铺开纸，让他当着自己的面再作出一个正17边形。
青年很快作出了一个正17边形。导师激动地对他说：“你知不知道，你解开了一桩有两千多年历史的数学悬案！阿基米德没有解决，牛顿也没有解决，你竟然一个晚上就解出来了，你是一个真正的天才！”
原来，导师也一直想解开这道难题。那天，他是因为失误，才将写有这道题目的纸条交给了学生。
每当这位青年回忆起这一幕时，总是说：“如果有人告诉我，这是一道有两千多年历史的数学难题，我可能永远也没有信心将它解出来。”
这位青年就是数学王子高斯。
他也视此为生平得意之作，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上；但后来他的墓碑上并没有刻上十七边形，而是十七角星，因为负责刻碑的雕刻家认为，正十七边形和圆太像了，大家一定分辨不出来。
【启 示】
一些问题之所以没有解决好，也许是因为我们把它们想象得太难了，以致无法面对。因为在面对更多困难和挑战的时候，我们不是输给了困难本身，而是输给了自身对困难的畏惧。
当高斯不知道这是一道两千多年的数学悬案，仅仅把它当作是一般的数学难题时，只用了一个晚上就解出了它。高斯的确是天才，但如果当时老师告诉他那是一道连阿基米德和牛顿都没有解开的难题，结果可能是另一番情景。事实上，任何人都应该像高斯那样，在做事前不妨先认为它并不难，相信自己能做好它，就一定能做好。
数学家们通常都有一种对纯粹的偏执，例如，他们作图时总是要求尽量少用作图工具，并且工具要尽量简单。简单，就产生了美感。这就产生了尺规作图：
用无刻度的直尺和圆规作图
可是，这样一来就会产生一些不可能用尺规作图实现的作图问题。最著名的莫过于三大几何不可能问题：倍立方、化圆为方、三等分角。当然，在高斯以前，比较著名的问题还有：如何用尺规作图，画出正n边形？
然而……
这个关于正十七边形的故事只是传说，无法考证……
但是，高斯确实很用心地研究了这一问题。后人所能考证出来的是，在他决心成为一名数学家那天（1796年3月30日），他所记录的问题就是：
圆的分割定律：如何用几何方法将圆十七等分？
并且……在当天，他确实给出了作法……
但是，他觉得……
这不够完美……
于是他没有发表这个作法……
以至于具体画法要到1825年才由约翰尼斯·厄钦格（Johannes Erchinger）给出……
最终，1801年，高斯在《算术研究》中给出了可用尺规作图的正多边形的充要条件：
尺规作图正多边形的边数必须是2的非负整数次方和不同的费马素数之积。
高斯，大学二年级，解决了两千年来悬而未决的难题。
费马数，因此获得了全新的生命力。
正n边形作法与费马素数
现在，就让我们也来画一画正17边形吧！
这看似一个不可能完成的任务，
但是，
其实我们每个人都可以想到哦~~
大家还记得正5边形的画法吗？
画出正5边形，关键就是得到下面这条式子：
因为我们尺规作图所能画出的角，就是三角函数值能用二次根式及其组合表达的角！
这就启发我们去试图求解cos(2π/17)——
让我们来疯狂地算一把吧！！！
总结一下，最终结果是：
以下是一个小GIF：
大家不妨跟着画哦~~
还有，很多人说这个动图太快了，看不懂（只觉得好厉害），那现在分享一下现代数学家H.W.Richmond的画法吧！（这个真的可以自己动手画的哦）
第一步：
给一圆O，作两垂直的直径OA、OB，
作C点使OC＝1/4OB，
作D点使∠OCD＝1/4∠OCA
作AO延长线上E点使得∠DCE＝45°
第二步：
作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，
此圆交OB于F点，再以D为圆心，作一圆
过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。
第三步：
过G4作OA垂直线交圆O于P4，
过G6作OA垂直线交圆O于P6，
则以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点，
P4为第四顶点，P6为第六顶点。
以1/2弧P4P6为半径，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。
via：星云风暴
由此亦可以猜测：
这样，我们便画出了正十七边形。
正三角形的尺规作图，最简单的方法只需要6步，并且很早的时候就已经被发现了。
正方形的尺规作图方法同样简单而且古老。
正五边形的尺规作图，在很多书上都能找到。
正六边形可以通过对正三角形进一步平分角得到，但下面的方法显然更加简单。
正八边形也可以通过对正方形二等分角得到，而下面的作法对这种思路进行了简化。
能作正五边形，十边形就能作出来。在得到边的长度以后，用圆规在圆周上画弧的过程真是赏心悦目。
正十二边形虽然边数多，但其实比正八边形还好作。
正十五边形的尺规作图共需要36步。这个作法也有两千多年的历史了，与正五边形的作法同样出自欧几里得的《几何原本》。确切地说，是第四卷第16题（Proposition XVI of Book IV of Euclid's Elements）。
四等分正方形圆心角，即可得正十六边形。
关于正十七边形的尺规作图，有一个传说非常动人：19岁的天才数学家高斯一晚上就搞定了悬而未决两千年的尺规作图正十七边形难题，等等等等。但这个说法很可能只是人们善意的谣言，能够确证的说法是名不见经传的Johannes Erchinger在1825年首次解决了这一问题。
正二十边形可以通过正十边形得到。
比前面的作图方法，下面我们将要展示的，恐怕更接近于艺术欣赏。
叠加正十七边形和正五边形，我们可以轻松得到正85边形。需要注意的是，这招并不总是有效，但可以确定的是，还有51边形和255边形可以使用同样的方法。
叠加正十七边形和正十五边形，可得正255边形——几乎就是个圆。根据高斯的判别法不难想象，当n越大，越少见边数连续分布的可以尺规作图的正n边形，但是255、256、257边形都可以尺规作图。
但由于257是费马素数，因此正257边形可以尺规作图。1832年Friedrich Julius Richelot和Schwendenwein发表了正257边形利用圆规和尺子绘出的具体方法，除掉将各点连接的步骤，共需要217步。
相比前面的尺规作图演示，上面这个257边形的的作图方法可能比较让人纳闷——为什么多边形的外接圆在不断变化？这是因为在作图方法中，如果设定外接圆的半径为1，在作图过程中需要作很多半径比1大得多的圆。
高斯的理论表明正65537边形能够尺规作图，但人心都是肉长的，谁都知道如果真的去解决这一难题该是多么摧残身心。可德国数学家Johann Gustav Hermes就是不怕死，他用10年心血解出了正65537边形的尺规作图法并于1894年发表，200多页手稿装了一皮箱，目前保管在哥廷根大学。如果要画出正65537边形及其外接圆，并使边和圆周之间的最大距离为1mm的话，这个圆的半径要超过870公里，实际上这个图画完之后根本看不出那个多边形——画面中央的“小句号”。
编后语：
有些事情，在不清楚它到底有多难时，我们往往能够做得更好！
由此看来，真正的困难并不是困难本身，而是我们对困难的畏惧。
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