与2017福州九下质检第16题类似的试题的多种解法分析与大胆拓展及变式
综合题不可怕，可怕的是不敢去“动”综合题，动态题虽抽象，但“动中有“静”，无论在哪一瞬间都可以当作是“静”的，而几乎所有的难题（尤其是中考压轴题）都跟动态有关，如果你能准确画出“动中有静”的静态图，那问题就迎刃而解。很多同学不敢去“碰”难题，最根本的原因是：因无法准确画出正确的图形而无从下手，最后只好作罢，久而久之就不敢“多看一眼”。因此画出正确的图形是解决难题的关键！
综合题本身蕴含着非常丰富的知识内容及知识点的横纵向联系，如果平时不训练，就失去很多锻练能力的机会，就不可能将各个知识点掌握的好、掌握的牢。如果能在解题中多观察和思考一些动态变化的图形，显然对同学们的识图、画图能力大有帮助，从而也提高解难题的能力。当然，更应该选好典型的试题，经过耐心细致地强化训练，才能达到熟练程度。
“初中数学延伸课堂”力求选好例题，通过几何画板的动态演示，图文并茂地展示试题的解析过程，希望能给大家的交流与学习带来方便，通过认真细致地思考、观察、模仿、训练，强化解难题的能力。
（原题）如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，连接BE．过点C作CF⊥BE，垂足是F，连接OF，则OF的长为________．
——试题来源于网络
图文解析：
预备结论：∠BFO＝∠BCO＝45°，证明如下：
（有多种证法，下列提供七种证法）
证法一：由∠BOC＝∠BBF＝90°想到构造圆，取BC的中点M，连接OM和FM，不难得到：OM＝FM＝0.5BC＝BM＝CM，所以O、B、C、F四点均在以BC为直径的圆M上，从而不难得到：∠BFO＝∠BCO＝45°.如下图示.
证法二：由两角相等可证△BOG和△CEG相似，得到：BG:CG=OG:FG，即BG：OG＝CG：FG.
又由BG：OG＝CG：FG.与对顶角∠BGC＝∠OGF，可得△BCG和△FFG相似，从而得到∠BFO＝∠BCO＝45°.
证法三：在BE截取点H，使BH＝CF，连接OH（相当于将△COF绕O点顺时针旋转90°），不难证明：△BOH≌△COF，得到：OH＝OF，且∠BOH＝∠COF，进一步得到：∠HOF＝∠BOC＝90°，所以△HOF为等腰直角三角形，从而∠BOF＝45°.
证法四：过D点作DG⊥CF交CF的延长线于G点，连接OG，不难证明：DG∥BE，∠ODG＝∠OBE=∠OCF.
再证△BCE和△CDG全等，得到CF＝DG（下图示）.
因此，△COF≌△DOG，得到OF＝OG，∠DOG＝∠COF，进一步得到：∠FOG＝∠COD＝90°，所以△FOG为等腰直角三角形，得到∠OFG＝45°，从而∠BOF＝45°.
证法五：延长CF到G，使CG＝BF，连接OG（相当于将△BOF绕O点逆时针旋转90°），下面思路与证法三类似，试试看.
证法六：过A点作AH⊥BE于H点，连接OH（相当于将△BOF绕O点逆时针旋转90°），下面思路与证法四类似，试试看.
证法七：过O点分别作BE和CF的垂线，交BE和CF的延长线于M、N点，得到四边形OMFN是矩形.
再通过△BOM≌△CON，得到：OM＝ON，然后根据角平分线的性质（或正方形的性质）得到：∠BFO＝0.5∠MFN＝45°.
下面求OF的长：
解法一、二：
利用三角函数的定义（当然也可以用相似或勾股定理）可得：
(1)如下图示，过O点作OP⊥BF于点P.
显然这种解法，计算量较大.
(2)如下图示，过B点作BQ⊥OF于点Q.
这时的计算量就小多了。
解法三
解法四
解法五
解法六
解法七
与2017年福州九下质检第16的解法类似，也有相类似的解法.，这里不在重复，有兴趣的朋友，可以参考一下前面的相关小文章.
下面再提供一种用函数来解决的方法（就称解法八）：
解法八
建立如图如示的平面直角坐标系，，再延长CF交AD于G，容易得到：B（－3，－3），E（3，－1），C（3，－3），G（1，3）（其中G点坐标可通过△BCE≌△CDG得到），进一步求出直线BE和CG的解析式，联立两解析式可求得F点的坐标，最后在Rt△OFM中，根据勾股定理可求得OF的长.
接下来，将本题大胆变式，解法相类似，动脑思考一下.
(前面用到全等，可能下面变式要用到相似)
变式1 如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD的延长线上，且DE=3CE，连接BE．过点C作CF⊥BE，垂足是F，连接OF，则OF的长为________．
变式2 如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在DC的延长线上，且CE=3DE，连接BE．过点C作CF⊥BE，垂足是F，连接OF，则OF的长为________．
变式3 如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在直线CD上的一个动点，连接BE．过点C作CF⊥BE，垂足是F，连接OF.设CE=x，OF=y，则y与x之间的关系为________．
(上述三个变式的解法均与原题相同，均有较多种解法.)
变式4 如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在边CD上，且CD=2CE，连接BE．过点C作∠CFB=∠BOC，使F点在直线BE上，连接OF，则OF的长为________．
（若E点直线CD呢？若CE=x，OF=y，找出y与x的关系.）
(好好思考一下)
(已想出答案，请在”写留言“中，写出答案和简要过程，分享给大家).
（本文结束）
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