2017年九下北京海淀区二模（倒一）图文解析
注：今天本该发面填选压轴（8），应朋友的要求，先发此题.
（北京海淀区二模）29．在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为同族点．下图中的P，Q两点即为同族点．
（1）已知点A的坐标为（－3，1），
①在点R（0，4），S（2，2），T（2，－3）中，为点A的同族点的是______________；
②若点B在x轴上，且A，B两点为同族点，则点B的坐标为 ____；
（2）直线l：y=x－3，与x轴交于点C，与y轴交于点D，
①M为线段CD上一点，若在直线x=n上存在点N，使得M，N两点为同族点，求n的取值范围；
②M为直线l上的一个动点，若以（m，0）为圆心，根号2为半径的圆上存在点N，使得M，N两点为同族点，直接写出m的取值范围．
图文解析
（1）根据定义，直接可以得到答案.这里不做分析，答案附后.
（2）分析如下：
①设M（t，t －3)，其中0＜t<3(因M点在线段CD上)，则ME＋MF＝t＋（3－t）＝3. 再设N（n，y)，若M，N两点为同族点，则有：
｜n｜+｜y｜=3，即｜n｜=3－｜y｜，由于｜y｜≥0，｜n｜≥0，所以0≤｜n｜≤3，因此－3≤n≤3.
②如下图示.首先证明：当点M在直线CD上时，ME＋MF≥3.
当点M在线段CD上时，第①小题已证：ME＋MF＝3；
当点M在线段CD的延长线上时，t＞3，ME＋MF＝t－3+t＝2t－3＞2×3－3；即ME＋MF＞3；
同理当点M在线段DC的延长线上时，t＜0，ME＋MF＝3－t＋（－t）＝3－2t＞3；即ME＋MF＞3.
综上所述，当点M在直线CD上时，ME＋MF≥3.
作如上图所示的辅助线，则有NG＝AH，而NA＋NB＝NA＋NG＋BG＝NA＋AH＋｜m｜（因H(m，0))，当M，N两点为同族点时，NA＋NB＝NA＋AG＋｜m｜＝ME＋MF≥3.所以｜m｜≥3－（NA＋AH）.于是本题就转化为求NA＋AH的取值.
下面我们讨论NA＋AH的取值：设AN＝x，AH＝y.
取NH的中点Q，连接AQ，得到AQ＝0.5NH＝0.5×根号2.
一方面，可由勾股定理得：x^2+y^2=2，即（x+y)^2=2＋2xy.
另一方面，由面积公式可得：△ANH的面积＝0.5xy=0.5×NH×斜边上的高≤0.5×NH×AQ＝0.5×根号2×2分之根号2＝1（常见的等积法及利用“垂线段最短），即xy≤1.
所以（x+y)^2=2＋2xy.≤2+2×1＝4，从而得到x+y≤2，即NA＋AH≤2.所以
｜m｜≥3－（NA＋AH）≥1，即｜m｜≥1，
再结合数轴可得：m≥1或m≤－1.……得到本题的答案！
反思：本题在求NA＋AH的取值时，充分利用”垂线段最短和等积法“，进行巧妙的转换。实际上也证明了，高中的一个很重要的不等式：x+y≥2×根号xy（其中x＞0，y＞0）.当然若设∠NHA为α，则本题实际上也证明了：x+y=根号2×（sinα+cosα)≤2，即sinα+cosα≤根号2.
答案如下：（原答案，第2题的解法与本文略有不同）
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