初高中衔接相关知识图文例析（2）—三角函数相关（1）
本系列内容不全是为了中考，更可以延伸到中考后，为高一年的数学学习打下必要的基础。本人大胆建议：中考结束后，同学们可以借助本系列内容进行拓展式的学习，顺利渡过“初高中衔接”这个门槛，更快地适应今后高中的学习！
注：本想按初中知识点顺序写，应朋友们的要求：与中考关系更紧密的内容先写。所以只能打乱了顺序来写！
本篇说明：众所周知，三角函数内容不但在初中重要（多数相似的试题都可以用三角函数的定义来完成），而且更是高中“重中之重”的内容。在历年各地的考试中，均有不同形式的题型（含阅读型拓展试题）出现。显然这又是一个与高中衔接最紧的内容之一。本篇试图通过一些知识点的深化分析和典型例题解析，抛砖引玉，希望能给朋友们带来教与学上的帮助。
预备知识：
锐角三角函数的定义：
在特殊图形中：
在坐标系中：
这里略去与三角函数相关的其他知识点，如特殊角的三角函数、互余的三角函数值的关系，几个重要的公式（sinα与cosα的平方和＝1、tanα与tan（90°－α）的值互为倒数、tanα=sinα/oosα笔）.
但需强调的是：“sinα、cosα、tanα”三者是“知一求二”.
如：tanα＝3/4，则可通过下列图形来求出其他的sinα和cosα.
典型试题图文解析：
1、在网格（或坐标系）中的应用.
例1 如图，边长为1的网格，△ABC的三点均在网格上，求∠ABC和∠ACB的三个三角函数值.
简解：下图示，先求出△ABC的面积，再求出AB、AC、BC的长（根据勾股定理..
再通过面积公式，求出相应的BC边上的高（或AC边上的高）.下图示：
求BD、AD、CD时，可以用方程（设BD＝x，则CD＝根号17－x）来解决，再根据勾股定理，得：AD平方＝AB平方－BD平方＝AC平方－CD平方，得到关于x的方程，…….（方法多种，只选一种通法）
实际上，对△ABC而言，这个三角形可解，即所有与△ABC相关的均能求得，如：三角形ABC的周长、内切圆半径、外接圆半径、角平分线、中线等.
我们说网格显然与坐标系相关，因此如果△ABC是在坐标系的背景下，当然也有类似的解法和思路。如下图示：A（2，1）、B（0，－1），C（4，－2）.……
实际上就是：
2、在圆中的应用.
例2 已知tan∠BAD=4/3，BD=10，求外接圆的半径.
分别给出下列不同图形：结果当然都一样：
只给一个图形进行解析：添加如下图的辅助线，根据三角函数的定义，不难得到答案。这是三角形中的“一边一对角”的问题，通过“直径——直角”转化为直角三角形中解决.
实际上：BD/sinA=2R（外接圆直径）或者BD＝2RsinA，这就是高中要学的“正弦定理”.
例3 已知，在⊙O中，直径AB的长度为1，C、D都是圆上的点，连接AC、BC、BD、AD，过点D分别作直线AC，BC的垂线，垂足依次为E，F，设∠BAD＝∠1，∠CAD＝∠2.
（1）若∠1＝∠2＝30°，求DF，DE；
（2）利用此题可以证明：cos(∠1＋∠2）＝_______（用∠1，∠2的三角函数表示）；并证明结论.
——试题来源：家长朋友最新提供的
解析：（第一问略去，直接解析第二问）
此题是圆中的一个基本图，利用此图，可以得到：和角（∠1＋∠2）的各种三角函数值，还可以得到：倍角、半角（较难，只做提示）、差角（较难，只做提示）的三角函数值。下面请看：
首先：
其次：
第三：
最后，在直角三角形ABC中，cos(∠1＋∠2）＝AC/AB=AC=AE－CE=cos∠1×cos∠2－sin∠1×sin∠2.
sin(∠1＋∠2)和tan（∠1＋∠2）的求法类似.
显然，当∠1＝∠2时，就可以得到：倍角的三角函数值，下面简要图解：
至于差角，可以在下图中，设∠BAC＝∠2，∠BAD＝∠1，可以得到差角的三角函数值（计算量较大），类似地可以设∠BAC＝∠α，且让∠1＝∠2，则有∠1＝∠2＝0.5α，得到半角三角函数值（计算量大）。
显然上述内容均是高中的重要知识.
下面再提供几种不用此基本图求和角、差角、倍角、半角的方法，仅提供构图解析，朋友们可以好好思考一下！
上面是半角与倍角的构图方式
此时∠DFH＝∠2－∠1（可求得差角的三角函数值）
上面两个图形是“直角”最常见也是最重要的构图.
（未完待续）
详细解题过程，这里略去。
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