初高中衔接相关知识图文例析（4）—判别式的妙用
本系列内容不全是为了中考，更可以延伸到中考后，为高一年的数学学习打下必要的基础。本人大胆建议：中考结束后，同学们可以借助本系列内容进行拓展式的学习，顺利渡过“初高中衔接”这个门槛，更快地适应今后高中的学习！
注：本想按初中知识点顺序写，应朋友们的要求：与中考关系更紧密的内容先写。所以只能打乱了顺序！
本篇说明：判别式的相关知识不仅是初中数学教学的重点，在高中数学中也是一个重中之重的内容。本篇试图通过几道典型例题的解析，引起大家的注意！特别说明：本篇小文中出现的例题均是网络收集和朋友提供。
典型试题图文解析：
例1. 已知：如图，矩形ABCD中，AD＝a，DC＝b，在AB上找一点E，使E点与C、D的连线将此矩形分成的三个三角形相似，设AE＝x，问：这样的点E是否存在?若存在，这样的点E有几个?请说明理由．
解析：显然当∠DEC＝90°时，矩形被分成的三个三角形相似。由此得到：AD:AE=BE:BC,即a:x=(b－x):a，整理，得：x^2－bx+a^2=0,其判别式Δ＝b^2－4a^2=(b+2a)(b－2a)，因b+2a>0，所以只需讨论b－2a的符号。
不难得到：（1）当b>2a时，Δ＞0，符合条件的点E有两个点；（2）当b＝2a时，Δ＝0，符合条件的点E有一个点；（3）当b＜2a时，Δ＜0符合条件的点E不存在.
另：本题用“圆”的相关知识来解，也很方便：
小结：利用方程根的情况（判别式Δ）来判断点的个数。
例2 如图，已知边长为a的正方形ABCD内接于边长为b的正方形EFGH，试求b/a的取值范围．
解析：设BF＝x，则通过全等不难证明：BE＝CF＝a－x，在RtΔBEF中，由勾股定理，得：
由于x的值是存在的（显然是废话），则上述关于x的二次方程有实数根，所以Δ≥0（看来”废话不废“，还真帮上忙了.呵呵！）.
即：
小结：根据勾股定理，建立方程模型，巧妙利用根的判别式突破。
例3 已知三个实数a、b、c满足a+b+c=0，abc＝1，求证：a、b、c中至少有一个大于1.5．
解析：由a+b+c=0知，三个实数中至少有一个为正数，不妨设c＞0，则有b=－a－c，代入abc=1中，得：a(-a－c)c=1，即a(-a－c)=1/c，整理得：a^2+ac+1/c=0，因a为实数，所以关于a的一元二次方程a^2+ac+1/c=0有实数根（“废话不废”），因此：
…….
小结：又一道通过建立方程模型，巧妙利用根的判别式突破。
下面再以一道朋友提供的压轴题解析，作为本文的结束.
例4 已知二次函数y=0.5(m－n)x^2+nx+t－n.
（1）当m=t=0时，判断二次函数图象和x轴的交点个数.
（2）若n=t=3m，当x为何值时，函数有最值？
（3）是否存在实数m和t，使二次函数y=0.5(m－n)x^2+nx+t－n与x轴有交点，且n的最大值和最小值分别为9和3？若存在，求m和t的值；若不存在，请说明理由.
——试题来源：一个公众号朋友提供
解析：
(1)只需将m=t=0代入原解析式，得到含有字母系数n的二次函数，再根据“Δ”的符号，判定图象与x轴的交点个数.答案如下：
将m=t=0代入，得到：y=－(n/2)(x^2)+nx－n（n≠0）.
Δ＝……=－(n^2)，又n≠0，得到△＝－(n^2)＜0.
所以该二次函数图象和x轴的交点个数为0.
（2）类似（1），将n=t=3m代入，得到含有字母m的二次函数，再通过配方，即可得到答案。答案如下：
∵n=t=3m，∴y=－mx^2+3mx(由m－n≠0可得m≠0）.
配方，得：y=－m(x－1.5)^2+2.25m.
∴当x=1.5时，函数有最值.（也可分m>0和m<0讨论）.
下面详细解析第（3）小题
（3）务必审清题意，逐个条件分析，最后综合.
根据“二次函数y=0.5(m－n)x^2+nx+t－n与x轴有交点”可得到：Δ＝……=－(n^2)－4×0.5（m－n）×（t－n）＝－n＾2+2（m+t)n－2mt≥0，得到Δ为关于n的二次函数（因n的取值明确）.
“Δ为关于n的二次函数”这个结论是解题的关键（注意体会）！！！且Δ≥0.
根据“且n的最大值和最小值分别为9和3”及结合上述结论，可以得到：本题的题意相当于“当3≤n≤9时，Δ≥0（即关于n的函数Δ的值为非负数——相当于此时函数Δ的图象在n轴上或上方”）.
由此得到：分别当n=3或9时，关于n的函数值Δ＝0.所以：
小结：本题其实难度不大，关键是：有没有真正理解题意，能否从题意得到有用且关键的结论。因此，做这类题时，务必要逐字逐句地审清题意，找出解题的突破口.
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