中考关键题（中档）图文解析系列（5）—2017年九地市质检
（宁德质检）22.（本题满分10分）如图，在边长为1的正方形组成的5×8方格中，△ABC的顶点都在格点上．
（1）在给定的方格中，以直线AB为对称轴，画出△ABC的轴对称图形△ABD．
（2）求sin∠ABD的值.
图文解析
（1）基础题，但要判断清楚对称轴（是直线AB）.解答如下：
另：作图题必须给出作图结论.
（2）分析如下：
最快解法：如下图示，观察发现：两阴影三角形全等（解答时，必须证明），进一步可得到△BDE为等腰直角三角形，从而∠ABD＝45°，所以sin∠ABD＝2分之根号2.（根据本题点的特殊性）
常规解法1：如下图示，不难求得：CD＝根号10，BD＝根号5.根据对称性，CD⊥AB于O（即∠BOD＝90°），且OD＝OC＝0.5CD＝0.5×根号10，再根据勾股定理，可得：OB＝OD＝0.5×根号10，从而∠ABD＝45°，所以sin∠ABD＝2分之根号2.
常规解法2：如下图示，不难求得：CD＝根号10，BD＝BC＝根号5，满足BC＾2+BD＾2＝CD＾2，再根据勾股定理的逆定理，得△BCD是等腰直角三角形，同时AB垂直平分，因此：∠ABD＝45°，……..
通常解法：（此法虽然麻烦，但适用于任何形状的格点三角形，强烈推荐掌握下来！等下拓展时，这种方法均可.）
如下图示，不难求得：AD＝5，AB＝2×根号10，BD＝根号5.同时△ABD的面积＝0.5×AD×AD边的高＝0.5×5×2＝5，再利用△ABD的面积又可以＝0.5×AB×DE＝0.5×2×根号10×DE＝5，从而得到DE＝0.5×根号10，在Rt△BOD中，sin∠ABD＝OD/BD＝…….
拓展1：如图△ABC为格点三角形，求tan∠ABC和cos∠CAB.
简析：用上述的通法，添加如下图示辅助线，通过面积求出AB边上的高.
先求出△ABC的面积，
再求出AB边上的高. 最后根据勾股定理求出相应的线段…….
进一步拓展：对于任意一个格点三角形，均可求春锐角三角函数值，同时又可求出相应的△ABC的对应高、路线、角平分线、外接圆和内切圆的半径等.
拓展2：(网格与坐标系)如图，△ABC的顶点A、B、C的坐标分别为：(1，1)．(7，3)．(5，4)．
（1）画出△ABC的轴对称图形△ABD，并求D点的坐标；
（2）求sin∠ABD的值.
简解：
(有网格线时)
……
拓展3 (不在格点上) 如图，求Sin∠ABC
方法一：如下图示，想方设法通过平移让∠ABC的顶点移到格点上(网格不够可以自己补充).
转化为求sin∠CDE.……
说明：整个解题过程类似.
拓展4 (在平面坐标系中)
若是在平面直角坐标系，已知三条直线围成的三角形ABC呢？
反思：网格与坐标系相通.顶点不在网格上的角，可以通过平移.
有趣的是，下面这道泉州质检题，如果把想象成网格中的图形，居然两题是几乎一样的，下面继续看!
（泉州质检）23．(10分)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是边AD的中点，且AC＝根号5，DC＝1．
(1)求证：AB＝DE；(2)求tan∠EBD的值.
图文解析
（1）常规解法：（方法多种，仅提供一种）
第(1)问显然，得到AB=AE=DE=1，同时BD=AC=根号5.过E点作EG⊥BD于G，在直角△EDG和直角△ABD中，sin∠1=EG/DE=AB/BD，即EG:1=1:根号5，计算出EG，再利用cos∠1=DG/DE=AD/BD，即DG：1=2：根号5，计算出DG，从而得到BG，再利用三角函数的定义得到正确答案为1/3.(过程略去)
（2）”网格“解法：（以0.5为网格单位），下图示，答案显然.
网格的”神奇“!
反思：”矩形——网络——坐标“是”一家“
（有不同思路和解法的，可在右下角的“写留言”留言.）
本公众号对应的QQ群：教师178733124，加群可以分享已发布内容的相关课件，学生或家长614779752.
(本文结束，别忘了在左下角的阅读人数右边的给个“鼓励”哦！）
点击“阅读原文”，更多中考压轴题图文解析，等您来阅读！
扫描下面二维码，关注或分享本公众号：zzdyunke(初中数学延伸课堂）.
进入公众号，输入数字“8”可进入本人的云课网（优思数学）的详细目录（已经有1200多个初中数学教学视频和《几何画板》使用实例视频教程（622分钟）.
点赞是一种鼓励 分享是一种动力