八下期末复习压轴题图文解析系列（4）—动点与正方形（2）

Original 2017-06-24 永泰一中　张祖冬 初中数学延伸课堂

已知E是边长为1的正方形ABCD对角线BD上的一个动点,点E从D点向B点运动（与B、D不重合），过点E的直线MN平行于DC，交AD于M，交BC于N，EF垂直于AE于E，交CB(或CB的延长线)于F 问：

(1)如图1，求证：△AME≌△ENF；

(2)点E在运动的过程中（图1、图2），四边形AFNM的面积是否发生变化，说明理由.

——试题来源于网络

图文解析：

（1）下图示，不难证得：∠1＝∠2，∠AME＝∠FNE＝90°，因此要证△AME≌△ENF，只需再证一对应边相等即可。

根据正方形的性质（对角线平分每一组对角），可以添加下图的辅助线证明AM＝EN.具体如下：

先证四边形AGEM是矩形，得到AM＝EG，再利用角平分线的性质，可得：EG＝EN。从而本小题得到证明（详细书写过程略去）.

（2）由（1）的结论可证得AE＝EF，得到△AEF为等腰直角三角形.

当点E在BD上运动时，观察下列图形变化，始终保持：△AME≌△ENF且△AEF是等直角三角形.

观察动态演示：（不能点击，只能自动演示）观察四边形AFNM的面积变化，同时关注特殊情况下的面积如何计算，及与一般情况的面积有何联系？

解法一：设元——设而不求.直接利用梯形面积公式.

解法二：：设元——设而不求.利用四边形ABMN的面积＋（或－）△ABF的面积.

（上述两种解法——其实是同一种解法，都用上了设元，同时又“设而不求“.这是数学最常用的解题思想——方程思想，务必要熟练掌握.）

（说明：拓展二，要用到相似，不可用全等来解决）

拓展一：当点D地BD的延长线上或DB的延长线上时，如下图示：

第一小题的结论仍然成立，第2小题有类似的结论是：图中阴影部分的面积和为0.5（定值）.试试看，你会解吗？

拓展二：（属于九年级的，八年级学生先不必阅读和思考）四边形ABCD改为”长宽分别为4和2，且设AM＝x，其他条件不变，如下图示.则第（1）结论为相似；（2）第二问面积显然不会保持不变，但可以用含x的函数关系式表示△AEF的面积，试试看！

（提示：用相似及性质或三次勾股解题——较难！）.

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