八下期末复习压轴题图文解析系列（5）—动点与正方形（3）
如图，在正方形ABCD中，点E在边AB上（点E与AB不重合），FGDE，FG与边BC相交于点F、 与边DA的延长线相交于点G.猜想 BF、AG、AE的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论.
图文解析：
三条线段（BF、AG、AE）均不在同一直线上，直接证明显然不可能，要想方设法让它们产生联系，尽量将其中两线段转化为同一直线上的一条线段，或者三条线段转化为同一个三角形中（这是解类似相关试题最常用的方法），然后通过全等或特殊三角形的相关结论进行证明。由于四边形ABCD为正方形，本身有着非常重要的结论，具备平移和旋转的相关性质，因此可以通过平移、旋转等方法将线段转化.
方法一：添加如下图（左）示的辅助线（相当于将线段BF向左平移，得到BF+AG＝MG，接下来，再想方设法求出MG与AE的关系.
如下图（右）不难证得△DEG和△FMG全等，得到AE＝MG，从而BF+AG＝AE.
方法二：过A点作AH∥FG交BC于G点（相当于将线段FG向上平移）.
方法三：延长DA至H，使AH＝AE（相当于将△ADE绕A点顺时针旋转90°得到△ABH）.如下图示.
方法四：纯计算法（适合九年级），如下图示，不难证得：∠1＝∠2＝∠3.
分别在Rt△ADE和Rt△ACE和Rt△EFB中，
方法五：可建立如下图示的坐标系，若不用九年级的方法，可能通过三次勾股定理，求得：AD＝a^2/b，再通过G、E点求出直线GE的解析式，进一步得到F的坐标，因此AG、BF、AE的长均可以a、b的代数式表示，…….（此法显然麻烦，但对对有关矩形、正方形、网格的类似试题等非常适用，解法通俗易懂，多数情况下解法还是最方便和快捷的（本文之前也类似的小文章）.
反思与变式：
（1）在解相关矩形与正方形的问题时，通常可通过平移、旋转、对称的方法帮助解决，也可通过建立坐标系或三角函数进行解决，而往往用三角函数法解决起来最便捷。
（2）变式1：若将试题中的”点E在边AB上“，改为”点E在直线AB上“，也同样有类似的结论(解法类似（但需要用到相似，试试看！）. 50 29897 50 14987 0 0 2903 0 0:00:10 0:00:05 0:00:05 2903
下面仅分别各给出一种不同的解题思路：
结论：BF－AG＝AE.
结论：AG－BF＝AE.
变式2 若将原正方形改为“两邻边AB：AD＝m：n”（m、n为常数）的矩形“呢？下图示.（适合九年级，思考一下！）
结论：AG＋BF＝m/n×AE.
当然，如果让点EAB的延长线或BA的延长线上，则：
结论：BF－AG＝m/n×AE.
结论：AG－BF＝m/n×AE.
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