中考压轴题（几何背景）图文解析 ——(2017福建倒二)

Original 2017-07-13 永泰一中　张祖冬 初中数学延伸课堂

中考压轴题（几何背景）图文解析（1）——(2017福建倒二)

（注：本题解法非常多，网络已有多人在写，本文就从其中的相似解法中的一个小侧面谈谈第二问的解析）

原题：如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P、E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．

（1）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长；

（2）若AP＝根号2，求CF的长．

图文解析：（本文只解析第二问）

图中有两矩形（一静一动），给人的第一感觉是这两个矩形似乎相似。事实如何呢？先从特殊情况来看：当P点与A点重合时，两矩形重合，显然可以认为两矩形相似；当点E与C点重合时，当P点与C点重合时，如下图示：

不难证明（甚至可能通过度量）此时的两矩形相似.由此可以大胆猜想：这一动一静的两矩形应该会相似。

证两矩形相似，显然转化为两三角形相似，解法就更灵活些。为此连接PF，得到△PDF，转化为证明△APD与△PDF相似，如下图示：

图中有∠ADC＝∠PDF=90°，因此只需证明AD：PD＝CD：FD（即AD：DC＝PD：FD）即可.同时应该注意到：当上述条件成立时，又可得到△APD∽△DCF（其中∠1＝∠2不难证明）.进一步又得到：CF：CD＝AP：AD，将相关数据代入，问题就迎刃而解！

由于DF＝PE，要证AD：PD＝CD：FD（即AD：CD＝PD：FD），就是要证AD：CD＝PD：PE.注意到点P在AC上，并且∠DPE＝90°，想到与直角相关的基本图形，进一步得到相应的辅助线，如下图示：

由PG∥CD得：AG：PG＝AD：CD＝4：3，可设AG＝4t，PG=3t（常法，设元——方程思想）.由△PDG∽△EPH得：PD：PE＝DG：PH＝（8－4t）:（6-3t）＝4：3（巧，其实是必然！下文将有叙述。），因此AD：PD＝CD：FD.从而本题得到解决.

当然也可添加如下图所示的辅助线来证（解题思路和解法类似）：

同样，与动点相关的直角还不止这些，可以进行“连动组合”，如：可以进行通过下列一系列方法解决，只是解法均类似，但各有繁简.有兴趣的朋友可以试试.

或者：

……，

其实，就是这个“矩形弦图”中的图形任意组合，都可以得到本题的答案，思路完全一样。

实际上，还可以进行如下拓展：

（1）任意改变矩形的两邻边的长度，一动一静的两矩形仍然相似，解法完全相同。

（2）将点P改为“射线AC”或“直线AC”上的动点，解法仍然相同。

　　请看动态演示：

（3）若删除一些线段，得到如下图形，本题就成了有关“路径”问题了。

（4）当然如果背景换成“一个内角为定角的平行四边形”，如下图示：

显然，只需进行如下处理，即可得到相同的解题思路.

反思：熟练掌握基本图形（或模型）的形成（含过程）、相关结论（含辅助线的添加）、变式（含在不同的情景下）等显然对解题有很大的帮助。

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