中考压轴题（几何背景）图文解析 ——(2017安徽倒一)

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（2017安徽）已知正方形ABCD，点M为边AB的中点.

（1）如图1，点G为线段CM上的一点，且∠AGB＝90°，延长AG，BG分别与边BC，CD交于点E，F.

 ①求证：BE＝CF；

②求证：BE^2＝BC•CE.

（2）如图2，在边BC上取一点E，满足BE^2＝BC•CE，连接AE交CM于点G，连接BG延长交CD于点F，求tan∠CBF的值.

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图文解析：

（1）①如下图示，通过△ABE≌△BCF（ASA）不难证得BE＝CF.

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②如下图示：可证得：BE＝CF＝CG，△CEG∽△CGB（AA），得到CG：CE＝BC：CG，从而CG^2＝BC×CE.又因BE＝CF＝CG，所以BE^2＝BC•CE（得证）.

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（2）法一：添加如下图所示的辅助线.

由CD∥AB得△CNE∽△BAE，得到CN：AB＝CE：BE，所以CN×BE＝AB×CE＝BC×CE.又BE^2＝BC•CE（已知），所以CN×BE＝BE^2，得CN＝BE.

       另一方面：

       如下图示，由CD∥AB得△CNG∽△MAG，得到CN：AM＝CG：GM.

如下图示，由CD∥AB得△CFG∽△MBG，得到CF：BM＝CG：GM.

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反思：解法中的 “CN＝CF”的证法思路是通过两个三角形相似，然后根据相似三角形的性质和比例的性质得到，是很易被忽略或遗忘的一种解法。

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反思：解法中用到了“设元”——方程思想，这也是在几何计算中常用的方法，尤其在相似或三角函数的运用中，经常通过比例和（或线段间“和差倍分”）关系设元。

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（本文结束）

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