2017年上海中考（倒一）几何画板解析（几何背景）
中考压轴题（几何背景）图文解析
——(2017上海倒一)
（2017上海）如图，已知☉O的半径长为1，AB、AC是☉O的两条弦，且AB=AC，BO的延长线交AC于点D，联结OA、OC.
（1）求证：△OAD∽△ABD；
（2）当△OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离；
（3）记△AOB、△AOD、△COD的面积分别为S1、S2、S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OD的长.
图文解析：
（1）法一：如下左图示，由OB＝OA＝OC得：∠1＝∠3＝0.5(180°－∠AOB)，∠2＝∠4＝0.5(180°－∠AOC)；又AB＝AC得∠AOB＝∠AOC，所以∠2＝∠3，又∠AOD＝∠AOD，从而△OAD∽△ABD.
法二 如上右图，作直径AE.由AB＝AC得弧AB＝弧AC，根据“圆的对称性”知弧BE＝弧CE，得∠1＝∠2，又OA＝OB得∠1＝∠3，所以∠2＝∠3，下同…….
（2）分两种情况：
当∠CDO＝90°，如下图示，不难得到△ABC为等边三角形.
当∠COD＝90°，如下图示，不难得到△BOC为等腰直角三角形……，
因OA＝OC，∠OCD＝∠OAC，由三角形定理知，2∠OCD＝∠OCD+∠OAC＜180°，从而∠OCD不可能为90°.
综上所述，所求的BC的长为根号3或根号2.
（3）（注：新人教版课本中没有“比例中项”和“黄金分割”等概念及相关知识属于阅读内容）
反思：本题中的第3小题，将三角形中的面积相关（等高）的常见结论、黄金三角形（有关性质与结论）、与比例相关知识完美地融合在一起，在圆的背景下，图形不但简洁美观，而且隐藏动感（动态）之美、计算之美，同时又可以无限扩展，可以将更多的圆的相关知识融入其中。
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