几何画板解析2017年河南中考倒二（几何背景）
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2017年河南中考倒二（几何背景）
（2017·河南）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点.
（1）观察猜想
图1中，线段PM与PN的数量关系是＿＿＿，位置关系是＿＿＿＿；
（2）探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值.
图文解析：
（1）如下图，不难证得BD＝CE，再利用三角形的中位线定理，得到PM＝0.5CE，PM∥AC，PN＝0.5BD，PN∥AB，进一步得到：PM＝PN.
由“PM∥AC，PN∥AB”又可以得到∠1＝∠2,∠3＝∠ADC,所以∠1+∠3＝∠2＋∠ADC＝180°-∠A=90°,得∠MPN=90°，即PM⊥PN.(证法多种，均属于较易)
(2)认真观察动态演示.(动画自动演示)
首先，先证：BD=CE，∠BGC=90°.
两共顶点煌等腰直角三角形 (基本图形)旋转，通过全等不难得到：BD=CE，∠ACE=∠ABD.(下面给出两图进行说明)
下面证明：∠BGC=90°(以上述的第一个图证明，其他类似可证.)
其次，根据三角形的中位线定理，可得到：
PM＝0.5CE，PM∥AC，PN＝0.5BD，PN∥AB，进一步得到：PM＝PN.
同时，
进一步，得到∠5+∠6=∠7+∠DCE，即∠MPN=∠7+∠DCE=180°-∠BGC= 90°，得到PM⊥PN.(本题得证)
(3)观察动态演示，(动画自动演示)
下面具体分析：
由第(2)问知：△PMN为等腰直角三角形，且PN=0.5BD，所以△PMN的面积=0.5×PN2=0.5×(0.5BD)2=0.125×BD2.
因此，要求△PMN面积的最大值，需求BD的最大值，由于D点在以A为圆心，4为半径的圆上，如下图示：
显然当B、A、D在同一直线上时，BD最大，最大为BA+AD=10+4=14.
所以所求的△PMN的最大面积为0.125×BD2=0.125×142=24.5.
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