几何画板解析2017年陕西中考倒一（几何背景）
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2017年陕西中考倒一（几何背景）
问题提出（1）如图①△ABC是等边三角形，AB＝12．若点O是△ABC的内心，则OA的长为___________；
解析：方法多种，仅提供一种最常见的方法思路（与正多边形相关的）.
问题探究 （2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝18．如果点P是AD边上一点，且AP＝3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分?若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．
解析：矩形是中心对称图形，要想将矩形的面积平分，则只需过对角线的交点作任意一条直线即可，而题目要求是“线段PQ将矩形面积平分”，即所画的线段必须经过P（其中Q是BC边上所求作的点），结合上述分析，所要画的线段是：
问题解决（3）某城市街角有一草坪,草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成,如图③所示.管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头,以后,他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时,既要能确保草坪的每个角落都能浇上水,又能节约用水.于是,他主喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB,然后再转回,这样往复喷灌),同时,再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．
如图③，已测出AB＝24m，MB=10m，△ABM的面积为96(m2)；过弦AB的中点D作DE⊥AB交弧AB于点E，又测得DE＝8m．请你根据以上提供的信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法?为什么?（结果保留根号或精确到0.01m）
解析：认真观察动态演示（自动演示）
本题需要重点解决以下几个问题：（1）弧AB所在的圆的半径长；（2）圆心O所在的位置；（3）射程最大的位置及求法.
作射线ED交AM于点C， 根据垂径定理和圆的对称性，不难得到：弧AB所在的圆的圆心（设为O）必在射线DC上，设半径为r，连接OA.如下图示：
进一步，得到OD＝r－8=5.
在△AMB中，由S△AMB＝0.5AB×MN得：MN＝2S△AMB/AB=2×96÷24＝8.如下图示：
同时在Rt△BMN中，由勾股定理得：BN＝6.
下面继续求出DC的长，说明圆心O在△AMB的内部.如下图示：
分别在Rt△ACD和Rt△AMN中，tan∠1＝CD：AD＝MN：AN，即CD：12＝8：18.解得CD＝16/3>OD(=5)，因此点O在△AMB的内部.
下面说明射程的最大值，设G为圆弧AB上的任意一点，就是求MG的最大值.
显然，当MG经过圆心O时（如下图的MF）射程最大.（根据在三角形中任意两边之和大于第三边），当然O点在△AMB的内部，这个结论才成立（上述动态演示中，已经说明这点，并且不难证明）。
下面，求MF的值，MF＝OF＋OM，其中OF是半径为3，OM的长可以通过如下图如示的方法求出.
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