几何画板解析2017年山西中考倒二（几何背景）
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2017年山西中考倒二（几何背景）
综合与实践
背景阅读 早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中．为了方便，在本题中，我们把三边的比为3：4：5的三角形称为（3，4，5）型三角形．例如：三边长分别为9，12，15或
实践操作 如图1，在矩形纸片ABCD中，AD=8cm，AB=12cm．
第一步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，再沿EF折叠，然后把纸片展平．
第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为GH，然后展平，隐去AF．
第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿AH折叠，得到△AD′H，再沿AD′折叠，折痕为AM，AM与折痕EF交于点N，然后展平．
问题解决
（1）请在图2中证明四边形AEFD是正方形．
（2）请在图4中判断NF与ND′的数量关系，并加以证明．
（3）请在图4中证明△AEN是（3，4，5）型三角形．
探索发现
（4）在不添加字母的情况下，图4中还有哪些三角形是（3，4，5）型三角形？请找出并直接写出它们的名称．
图文解析：
（1）如下图示，由矩形（ABCD）的性质可得：∠D＝∠DAE＝90°，由对称（折叠）知：∠AEF＝∠D＝90°，且AD＝AE，所以四边形AEFD是正方形.
（2）连接HN，如下图示：
不难证得∠1＝∠2＝90°，得到△HND’和△HNF是直角三角形.
同时由对折（对称）知DH＝D’H＝FH，又HN＝HN是公共边，所以Rt△HND’≌Rt△HNF，得到NF＝ND′.
（注：本题在书写时，务必先回答，再证明）
（3）设NF＝ND′＝x,如下图示，
在Rt△AEN中，由勾股定理，得：82+(8－x)2=(8+x)2，解得x=2.则EN＝6，AN＝10，得到EN：AE：AN＝3：4：5，因此△AEN是（3，4，5）型三角形．
（4）根据相似三角形性质（相似三角形的对应比相等）及“（3，4，5）型三角形的定义”，结合△AEN为（3，4，5）型三角形，可知：凡是与△AEN相似的三角形均是（3，4，5）型三角形.如下图示：
∴△MFN，△MD’ H，△MDA均符合．
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