几何画板解析2017年浙江绍兴中考倒二（几何背景）

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2017年浙江绍兴中考倒二（几何背景）

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（2017•绍兴）已知△ABC，AB=AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD=AE，设∠BAD=α，∠CDE=β．

（1）如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．

    ①如果∠ABC=60°，∠ADE=70°，那么α=°，β=°，

    ②求α，β之间的关系式．

（2）是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，求出这个关系式（求出一个即可）；若不存在，说明理由．

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图文解析：

（1）①答案为：20，10；（解法与②相同）

②法一：如下图示：

       在△DEC中，y=β+x，在△ABD中，α+x=y+β=β+x+β，所以α=2β；

       或：180°－2x=α+(180°－2y)，整理得：α＝2（y－x）=2β；

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法二：如下图示：

由等腰三角形的性质，不难得到：

       β＝∠CAM－∠1；α＝∠BAC－∠DAE＝2∠CAM－2∠1＝2（∠CAM－∠1）=2β；

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反思：若D点在直线BC上时，这种情况仍然成立.解法完全一样.

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动态演示（自动演示）.

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（2）动态演示（自动演示）

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如下几种情况：

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第一问的两种证法，均适用.

    方法一：（用方程思想）

    （仅以第一种情况证明，其他类似）.

    设∠ABC=x，∠ADE=y，

    ∴∠ACB=x，∠AED=y，

    在△ABD中，x+α=β﹣y，

    在△DEC中，x+y+β=180°，

    ∴α=2β﹣180°，

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方法二：提示：

 ∠MAN＝180°﹣（∠1+∠2）

      　     ＝180°﹣0.5（∠DAE+∠BAC）

      　     ＝180°﹣0.5（180°+α）

               ＝90°﹣0.5α

       β＝180°－∠MAN＝90°-0.5α

       即α=180°﹣2β

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其他情况，如下图，不做详细分析.

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反思：正确画出符合题意的图形，是解决本题的关键．

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