几何画板解析2017年浙江嘉兴中考倒二（几何背景）
2017年浙江嘉兴中考倒二（几何背景）
（2017•嘉兴）如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连结AE．
（1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH=AM．
①求∠CAM的度数；
②当FH=根号3，DM=4时，求DH的长．
图文解析：
（1）当点D与M重合时，
法一：如下图示，
不难证得△ABM≌△EMC，得到AB＝DE，又AB∥ED，所以四边形ABDE是平行四边形．
法二：延长AM至G，使MG＝AD，连接CG，如下图示.
不难证得△ABM≌△GCM，得到AB＝CG.
进一步得AB∥CG，又AB∥ED，所以DE∥CG.又CE∥AM，所以四边形MGCE是平行四边形，得到CG＝ME.
从而AB＝ME（＝DE），又DE∥AB，所以四边形ABDE是平行四边形．
当然，对于法二，也可“过C点作CG∥AB交AM的延长线于G，连接MG”（解法类似）.
小结：法二虽麻烦，但通用.也就是通常的“倍长中线”法.
（2）当点D不与M重合时，
法一：如下图示，
不难证得△ABM≌△GMC，得到AB＝MG，又CE∥AM，所以四边形DMGE是平行四边形，得到MG＝ED.所以AB＝ED，又AB∥ED，所以四边形ABDE是平行四边形．
法二：延长AM至G，使MG＝AD，连接CG，如下图示.
不难证得△ABM≌△GCM，得到AB＝CG.进一步得AB∥CG，又AB∥ED，所以DE∥CG.
又CE∥AM，所以四边形DGCE是平行四边形，得到CG＝ME.
从而AB＝DE，又DE∥AB，所以四边形ABDE是平行四边形．
当然，法二也可“过C点作CG∥AB交AM的延长线于G，连接MG”.
同样法二通用，也就是通常的“倍长中线”法.
拓展：若改为D点在中线AM所在的直线上，结论同样成立。如下列图示：
解法类似，试试看！
（3）①取线段HC的中点I，连接MI，如下图示：
在△BCH中，由中位线定理得：MI＝0.5BH，又BH=AM，所以MI＝0.5AM，在Rt△AMI中，由sin∠CAM＝MI/AM＝0.5，得到∠CAM＝30°.
②设DH=x，则：
由BH＝AM＝2x+4得到BD＝2x+4－x=x+4=AE，如下图示：
由于四边形ABDE是平行四边形，得BD∥AE，所以HF:AF＝DH:AE，因此：
反思：本题是综合性强，涉及到的知识点多。构造与中点相关的常用辅助线，充分利用中位线定理；同时本题可得到多条互相平行的直线，可根据平行线分线段成比例定理，然后通过设元（方程思想），得到相应的方程，从而问题得到解决.
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