几何画板解析2017年浙江台州中考倒一(函数相关)
2017年浙江台州中考倒一(函数相关)
(2017•台州)在平面直角坐标系中,借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根.比如对于方程x2﹣5x+2=0,操作步骤是:
第一步:根据方程的系数特征,确定一对固定点A(0,1),B(5,2);
第二步:在坐标平面中移动一个直角三角板,使一条直角边恒过点A,另一条直角边恒过点B;
第三步:在移动过程中,当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时,点C的横坐标m即为该方程的一个实数根(如图1);
第四步:调整三角板直角顶点的位置,当它落在x轴上另一点D处时,点D的横坐标n即为该方程的另一个实数根.
(1)在图2中,按照“第四步”的操作方法作出点D(请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹);
(2)结合图1,请证明“第三步”操作得到的m就是方程x2﹣5x+2=0的一个实数根;
(3)上述操作的关键是确定两个固定点的位置,若要以此方法找到一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,b2﹣4ac≥0)的实数根,请你直接写出一对固定点的坐标;
(4)实际上,(3)中的固定点有无数对,一般地,当m1,n1,m2,n2与a,b,c之间满足怎样的关系时,点P(m1,n1),Q(m2,n2)就是符合要求的一对固定点?
图文解析:
(1)简析:根据“第四步”的操作方法作出点D即可.如图所示,点D即为所求.
(2)如下图示,
不难得到∠CAO=∠BCD,由三角函数的定义知:tan∠CAO=OC/OA=BD/CD=tan∠BCD,进而得出m:1=2:(5-m),即m2﹣5m+2=0.所以m是方程x2﹣5x+2=0的实数根.
(3)结合上述方程“x2﹣5x+2=0”的结构特点和(2)中的证明(m:1=2:(5-m)),可知:二次项的系数(A点的纵坐标)与常数项的积为B点的纵坐标,B点的横坐标为一次项系数与二次函数的商的相反数,对比方程ax2+bx+c=0(a≠0)可化为x2+(b/a)x+c/a=0,模仿研究小组作法可猜想,得:A(0,1),B(﹣b/a,c/a)或A(0,1/a),B(﹣b/a,c)等.
(4)设P(m1,n1),Q(m2,n2),如图示,
x2﹣(m1+m2)x+m1m2+n1n2=0,
又∵ax2+bx+c=0,即x2+(b/a)x+c/a=0,
∴比较系数可得: m1+m2=﹣b/a,m1m2+n1n2= c/a.
同样对x2(若存在)的解法也类似(略去).
所以,当m1,n1,m2,n2与a,b,c之间满足“m1+m2=b/a,m1m2+n1n2= c/a”的关系时,点P(m1,n1),Q(m2,n2)就是符合要求的一对固定点.
反思:解题关键是:过数结合图形,一元二次方程的解,锐角三角形的定义的综合应用
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