几何画板解析2017年浙江温州中考倒三 (函数相关)
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2017年浙江温州中考倒三(函数相关)
(2017•浙江温州)如图,过抛物线y=0.25x2﹣2x上一点A作x轴的平行线,交抛物线于另一点B,交y轴于点C,已知点A的横坐标为﹣2.
(1)求抛物线的对称轴和点B的坐标;
(2)在AB上任取一点P,连结OP,作点C关于直线OP的对称点D;
①连结BD,求BD的最小值;
②当点D落在抛物线的对称轴上,且在x轴上方时,求直线PD的函数表达式.
图文解析:
(1)常规题,简析如下:
法一:由题意A(﹣2,5),对称轴x=4,
(根据对称轴为直线x=-b/2a)
∵A、B关于对称轴对称,∴B(10,5).
法二:先求出A(﹣2,5),把y=5代入原解析式,得0.25x2﹣2x=5,即x2﹣8x-20=0,解得x1=-2,x2=10,∴B(10,5).
(2)①认真观察动画(自动演示)
如下图示,当点P在运动时,根据对称的性质知,OD=OC=5(为定值),因此点D在以O为圆心OC为半径的圆上,所以当O、D、B共线时,BD的最小值为:
②当点D在对称轴上时,如下图示:
根据对称的性质,可添加如下图所示的辅助线;
得到D(4,3).P点坐标可通过:
设PC=PD=t,在Rt△PDK中,
t2=(4﹣t)2+22,解得t=2.5,
P(2.5,5),
最后,若设直线PD为y=kx+b,把B、P两点坐标代入,解得:k=-4/3,b=25/3.
反思:解题的关键是熟练掌握二次函数和对称的性质,结合因动点产生的D点运动路径为圆弧,因此可以利用辅助圆解决最短问题.
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