几何画板解析2017年四川自贡中考倒一（函数相关）
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2017年四川自贡中考倒二（函数相关）
（2017•自贡）抛物线y=4x2﹣2ax+b与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2）两点，与y轴交于点C．
（1）设AB=2，tan∠ABC=4，求该抛物线的解析式；
（2）在（1）中，若点P为直线BC下方抛物线上一动点，当△BCP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）是否存在整数a，b使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同时成立，请证明你的结论．
图文解析：
（1）设A(t，0)，则B(t+2，0)，由tan∠ABC=4可得OC=4(t+2)，得C(0，4(t+2))，如下图示：
∴可设抛物线的解析式为：
y=4（x﹣t）（x﹣t-2），
把C(0，4(t+2))代入，……，得t=1，
∴y=4（x﹣1）（x﹣3），
即y=4x2﹣16x+12.
（2）如下图示，
PH=(-4m+12)-(4m2-16m-12)=-4m2+12m.
S△PBC=S△PHC+S△PHB=0.5PH•CD+0.5PH•BE
=0.5PH(CD+BE)=0.5PH•OB=1.5PH
=1.5(-4m2+12m)=-6(m-1.5)2+13.5.
得到：当m=1.5时，△PBC面积最大，
此时P（1.5，﹣3）．
(此题多种解法，这里提供的最简解法)
（3）先观察动画演示(动画自动演示)
如下图示，
假设存在整数a，b使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同时成立，则必须同时：满足当x分别为1和2时，函数值均大于0时；且抛物线必须与x轴相交于两点，抛物线的对称轴x=a/4必须满足1< a/4<2，即须满足：
又∵a是整数，∴a=5 或6或7，
当a=5时，代入不等式组，不等式组无解．
当a=6时，代入不等式组，不等式组无解．
当a=7时，代入不等式组，不等式组无解．
综上所述，不存在整数a、b，使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同时成立．
反思：解题的关键是灵活运用二次函数的性质和不等式组解决问题，尤其要理解能使得“1＜x1＜2和1＜x2＜2同时成立”所必备的条件．
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