几何画板解析2017年浙江丽水中考倒一（函数相关）

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（2017•丽水）如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连结BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部，连结AF，BF，EF，过点F作GF⊥AF交AD于点G，设AD：AE=n．

（1）求证：AE=GE；

（2）当点F落在AC上时，用含n的代数式表示AD：AB的值；

（3）若AD=4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值．

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【图文解析】

（1）如下图示：

由对称知，AF=FE，得∠1=∠2，由GF⊥AF，得∠1+∠4=∠2+∠3=90°，根据等角的余角相等，得∠3=∠4，进一步得到EG=EF，所以AE=EG.

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（2）当点F落在AC上时，如下图示：

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不难证得∠1＝∠5.

       由条件可设：

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分别在Rt△ABE和Rt△ACD中，根据三角函数的定义，可得：

               tan∠1＝a:x=x:na=tan∠2.

（当然，本题也可以利用相似和勾股定理来解）.

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（3）（注：因本题的图因试题本身条件影响，整体图形的长宽比值很大，在微信文中很难以正常比例完整显示，所以作了缩放处理）

       题目中有一个条件是：点F落在矩形ABCD的内部.而当F点落在BC边上时，如下图示：

根据条件，可得到：

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进一步得到：4a/n=a，n=4，所以当点F落在矩形内部时，n＞4，同时∠FCG＜∠BCD＝90°，因此只有∠CFG=90°或∠CGF=90°两种可能.

    ①当∠CFG=90°时，如下图示，则点F落在AC上，由（2）得，

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②当∠CGF=90°时，如下图示：

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（图形作了处理，非准确图形）

       　不难得到∠1＝∠8，

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进一步地，有：

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    分别在Rt△ABE和Rt△CDG中，根据三角函数的定义，可得：

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       反思　注意此题中的第3小题中有一个“直角”的基本模型和常见的解题思路，同时本小题所涉及到的分类讨论和方程思想，是解决综合性问题的常用思路和技巧。

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