几何画板解析2017年江苏苏州中考倒二（几何背景）
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（2017•苏州倒二）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D在⊙O上，OD∥BC，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CD交OE边于点F．
（1）求证：△DOE∽△ABC；
（2）求证：∠ODF=∠BDE；
（3）连接OC，设△DOE的面积为S1，四边形BCOD的面积为S2，若S1：S2＝2：7，求sinA的值．
【图文解析】
（1）简析：如下图示：
（2）法一：如下图示，
由△DOE～△ABC可得∠A＝∠ODE=∠1+∠3，又∠A＝∠BDC=∠2+∠3（根据“同弧所对的圆周角相等”），所以∠1+∠3＝∠2+∠3，得∠1＝∠2，即∠ODF=∠BDE.
法二：如下图示，
由垂径定理得弧BD＝弧BG，进一步得∠2＝∠4，又由OD∥BC得∠1＝∠4，所以∠1＝∠2，即∠ODF=∠BDE.
法三：如下图示，
不难证得：∠2＝∠5，而∠5＝∠4，得∠2＝∠4，又由OD∥BC得∠1＝∠4，所以∠1＝∠2，即∠ODF=∠BDE.
（3）法一：如下图示，
由△DOE∽△ABC得S△DOE：S△ABC＝(OD：AB)2=1:4，得到S△ABC =4S1，又因OA＝OB，得S△BOC =2S1.
另一方面，由已知S1：S2＝2：7可设S1＝2a，则S2＝7a，S△BOC =2S1＝4a.进一步得到：S△BOD =3a. S△BOE =a.如下图示：
所以S△DOE：S△BDE =2a：a＝2：1=OE：BE（因E在OB上）.
若设BE＝t，则OE＝2t，OD＝OB＝3t，在Rt△DOE中，sin∠ODE＝2t/3t=2/3，并且由（1）可得：∠A＝∠ODE，因此sinA=2/3.
法二：如下图示，
S1＝S△DOE＝0.5Rsinα×Rcosα=0.5R2sinα·cosα.
而S2＝S四边形BCOD＝S△BOD+ S△BOC＝0.5R·Rcosα+0.5·2Rsinα·Rcosα.= 0.5R2 cosα+R2sinα·cosα.
所以
( 已知S1:S2＝2:7)
解得sinα=2/3，即sinA=2/3.
【反思】本题的第2小题的51 29348 51 14986 0 0 3048 0 0:00:09 0:00:04 0:00:05 3048>3个解法和第3小题的2个解法，都很有代表性，都值得深思．
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