几何画板解析2017年连云港中考倒二（几何背景）
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（2017•连云港）如图，已知二次函数y=ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（3，0），B（4，1），且与y轴交于点C，连接AB、AC、BC．
（1）求此二次函数的关系式；
（2）判断△ABC的形状；若△ABC的外接圆记为⊙M，请直接写出圆心M的坐标；
（3）若将抛物线沿射线BA方向平移，平移后点A、B、C的对应点分别记为点A1、B1、C1，△A1B1C1的外接圆记为⊙M1，是否存在某个位置，使⊙M1经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由．
【图文解析】
（1）简析：把点A（3，0），B（4，1）代入y=ax2+bx+3，解得a=0.5，b=－2.5.得：y=0.5x2﹣2.5x+3；
（2）简析：方法多种，仅选一种最便捷的方法，如下图，
所以△ABC是直角三角形.
显然圆心M是BC的中点，如下图示，
所以，圆心M的坐标为（2，2）.
（3）动画演示（自动播放）
如下图示，不难证明OM∥AB.
因此存在一个位置，使⊙M1经过原点.同时当点M与O点重合时，抛物线顶点D所平移的方向和距离与点M相同.
如下图示，不难得到，⊙M1经过原点时，平移的方向和距离：
对应的抛物线的顶点也是同样的平移。因平移前抛物线y=0.5x2﹣2.5x+3=1/2（x﹣5/2）2﹣1/8，其顶点D（5/2，1/8），所以平移后的顶点D1为：
【反思】圆心的平移与抛物线的平移一致.
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