几何画板解析2017年江苏无锡中考倒一（几何背景）

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（2017•无锡）如图，以原点O为圆心，3为半径的圆与x轴分别交于A，B两点（点B在点A的右边），P是半径OB上一点，过P且垂直于AB的直线与⊙O分别交于C，D两点（点C在点D的上方），直线AC，DB交于点E．若AC：CE=1：2．

（1）求点P的坐标；

（2）求过点A和点E，且顶点在直线CD上的抛物线的函数表达式．

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【图文解析】

（1）法一：如下图示，

不难证得，△ACP∽△AEM，得到AP：AM＝CP：EM＝AC：AE＝1：3，从而得到AM＝3(3+m)，EM＝3n.

       进一步，又得到：（如下图示）

    此时AM＝6+（9－3m）.

           结合上述，可得：

               6+（9－3m）=3(3+m)，解得m=1.

    所以点P（1，0）.

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       法二：如下图示，

进一步，

结合上述两图，得到：

　　4（3－m）=2(3+m)，解得m=1.

所以点P（1，0）.

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（2）连接OC，并结合（1）可得，

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       根据抛物线的对称性，进一步地，又得到：

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【反思】解题的关键通过添加辅助线，构造相似三角形解决问题，并注意方程的思想在解题的运用．

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