几何画板解析2017年江苏徐州中考倒二（几何背景）
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（江苏·徐州）如图，将边长为6的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠，展平后，得折痕AD，BE（如图①），点O为其交点．
（1）探求AO到OD的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，若P，N分别为BE，BC上的动点．
①当PN+PD的长度取得最小值时，求BP的长度；
②如图③，若点Q在线段BO上，BQ=1，则QN+NP+PD的最小值=______．
【图文解析】
（1）简析：如下图示，根据等边三角形的性质和对称性得到：∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，得到AO=OB，再根据直角三角形的性质得到OB＝2OD，所以AO＝2OD.
（2）动态演示（自动演示）
如下图示，
要找出“PN+PD的长度取得最小值”的点，可以根据“两点之间，线段最短”或“垂线最短”（当然能建立函数关系，转化为求函数的最值问题也可，但本题没必要），为此经常作定点关于定直线的对称点，根据对称的性质，进行转化。如下图示：
根据等边三角形的对称性，PN+PD＝PN+PD’，根据“垂线段最短”，可得：
当D’、P、N在同一直线上时，PN+PD最短，最短是D’N（即过D’的垂线段）.
如下图示，不难求得：D’N＝BNcos60°＝3/2.
（3）如下图示，
现将图形放大，同时隐藏一些跟本小题无关的线段，如下图示：
类似上述解析，可得QN+NP+PD取得最小值时，P、N点的位置如下图示：
QN+NP+PD的最小值即为D’Q’的长. 下面可能通过添加如下图所示的辅助线进行求解。
根据对称性，可得∠Q′BN=∠QBN＝∠QBD’ =30°，得到∠D′BQ′=90°.
在Rt△D′BQ′中，BD’=3，BQ’＝1，由勾股定理，得D′Q′=根号10，从而QN+NP+PD的最小值为根号10.
故答案为：根号10．
【反思】利用正三角形本身的对称性，和轴对称的性质，可将“最值问题”转化为“两点之间，线段最短”或“垂线最短”的问题，也是常用的解此类问题方法，务必要细心体会其中的解题思路.
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