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几何画板解析2017年江苏盐城中考倒一(函数相关)

2017-09-06 永泰一中 张祖冬 初中数学延伸课堂



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(江苏·盐城)如图,在平面直角坐标系中,直线y=1/2x+2x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=1/2x2+bx+c经过AC两点,与x轴的另一交点为点B

1)求抛物线的函数表达式;

2)点D为直线AC上方抛物线上一动点;

连接BCCD,设直线BD交线段AC于点ECDE的面积为S1BCE的面积为S2,求S1:S2的最大值;

过点DDFAC,垂足为点F,连接CD,是否存在点D,使得CDF中的某个角恰好等于BAC2倍?若存在,求点D的横坐标;若不存在,请说明理由.




【图文解析】

1)简析:依题意求得A(﹣40),C02),再代入抛物线的解析式,y=1/2x2+bx+c可得b=-3/2,c=2,所以所求的抛物线的解析式为:y=1/2x23/2x+2.



2①先求出B(1,0),然后,

    法一:如下图示,

同时,因B(1,0),可求得N(1,2.5).分别得DM=-0.5a2-2 aBN=2.5.

    进一步,根据面积公式和平行线分线段成比例定理的推论,可得到:



所以,当a=-2时,S1/S2的最大值为4/5.

    法二(计算量非常大,但为常法,体会解题思路,本题不建议用此法)     

解题思路:如下图示,先用m表示直线BD的解析式,再求出直线AC和BD的交点E的坐标,再进一步,由面积公式和平行线等分线段定理,可得到:


(3)方法一:如下图示,


    通过勾股定理的逆定理或相似,不难证得∠ACB=90°,再取AB的中点P,连接OP,可得到∠BPC=2∠BAC.同时P(-1.5,0),OP=1.5,OC=2,OA=4,PC=2.5,进一步tan∠BAC=2/4=1/2.

    情形一,当满足∠DCF=2BAC时,如下图示,


    法一:过D点作DQ∥x轴交直线AC于Q,则有:(如下图示)


由∠DCF=2BAC=DQC+CDQ得:CDQ=BAC,得到tanCDG=tanBAC=1/2,即RCDR12.

       Da,﹣1/2a23/2a+2),则DR=aRC=1/2a23/2a,所以:


       法二:如下图示,作A点关于直线y=2(C点坐标为(02)的对称点A’,再作直线A’C交抛物线于D点(即为所求的D点).


       根据对称性和平行线的性质,不难证得∠DCF=2ACN2BAC.

       不难求得A’(-44),因C02),直线A’Cy=1/2x+2.

       再联立抛物线和直线A’C的解析式,即可求得D的横坐标为2.

    情形二,当满足∠CDF=2BAC时,如下图示,


    法一:过D点作DQ∥x轴交直线AC于Q,则有:(如下图示)


    当∠CDF=2BAC时,得tanCDF=tanCPO4/3.

FC=4k,则DF=3kDC=5k由中DQ∥x轴得:tan∠DQC=3k/FQ=tan∠BAC=1/2,解得FG=6k,则CQ2k.如下图示:

       如下图示,不难求得:


法二:如下图示,作O关于BC的对称点O’,作B关于O’C的对称点B’,再作直线B’C交抛物线于D点(即为所求的D点).


根据对称性,不难证得∠BCB’=2BCO’ 2BCO2BAC,又∠BCB’90°-∠190°-∠2=∠CDF,满足CDF=2BAC.

       如下图示,不难求得:

       tanBLC1/n=2/(1+m)m+1=2n,又面积关系SOLCSOBC+ SBLC得:0.51+m)×20.5×1×2+0.5×1×(2+n)即

2m=2+n,综合两式:

所以L(8/3,0).


    进一步由点C(0,2)和L(8/3,0)可得直线LC为y=-3/4x+2.

    类似地,可求出点B’的坐标,如下图示,

    直线CB’的解析式为y=-2/11x+2,再联立直线CB’和抛物线的解析式,解方程组,即可得到D点坐标.下略.


   反思:本题的第(2)、(3)两小题的两种解题思路,不同添辅助线的方法,是中考的热点和重中之重,因此务必要熟练掌握。



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