几何画板解析2017年江苏盐城中考倒二（几何背景）
（点击“初中数学延伸课堂”关注)
（江苏·盐城倒二）
【探索发现】如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为_______．
【图文解析】
如下图示，
由三角形的中位线定理，可得：DE∥AB，EF∥BC，EF=1/2BC，DE=1/2AB，又∠B＝900，进一步得到四边形BDEF为矩形.
【拓展应用】如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为 ．（用含a，h的代数式表示）
【图文解析】
要求矩形PQMN面积的最大值，对本题来说，无法用尺规作图法找出符合条件的点，因此可以通过建立函数的方法，转化为求函数的“最值”问题，为此，可设矩形的一边PQ＝x，将矩形PQMN的面积表示为 x的函数.如下图示，
现只需求出PN，即可得到：用x表示矩形PQMN的面积.几何中求线段PN的长，通过可以通过勾股定理、相似、三角函数等方法.本题因PN∥BC，很自然想到用相似的性质（对应高的比等于相似比）求出PN的长（用x表示）.如下图示：
因此当PQ=h/2时，S矩形PQMN最大值为ah/4. 故答案为：ah/4.
【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．
【图文解析】
由于∠B是直角，从上述结论和图形结构不难联想到应补全直角三角形，如下图示，
因此，要想从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），应是：（其中I、K分别是BF和BG的中点），由【探索发现】知矩形的最大面积应为△BFG面积的一半.
不难证明：△AEF≌△HED（ASA）和△CDG≌△HDE，所以AF=DH=16，CG=HE=20.
由【探索发现】知矩形的最大面积为0.5BG•BF=0.5×（40+20）×（32+16）=720.
【实际应用】如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC=4/3，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积．
【图文解析】
由【拓展应用】不难想到，本题应先补全以BC为一边的三角形，并画出相应的高，如下图示，
问题就转化为：
因BC＝108，由【拓展应用】的结论知，只需将EH求出，并说明BE和CD的中点Q、P在边AB和CD上即可得解。
由tanB=tanC=4/3可知，∠B=∠C，
进一步得到：EB=EC＝0.5BC=54cm，如下图示.
有Rt△EBH中，由tanB=EH/BH=4/3得，EH=4/3BH=72cm.通过勾股定理，不难得到BE＝90cm，CE＝120.
同时，
所以中位线PQ的两端点在线段AB、CD上（存在性）.
由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为1/4•BC•EH=1944cm2.
【反思】这是两道课本例习题的巧妙变式和拓广，试题难度并不大，但从题意到解法、应用都恰到好处，真正体现出“数学从生活来，又回到生活中去”，真真是一道非常难得的好题。
扫描下面二维码，关注或分享本公众号：zzdyunke(初中数学延伸课堂). 添加关注后，进入公众号，输入数字“8”可进入本人的云课网（优思数学）的详细目录（已经有1200多个初中数学教学视频），输入数学“1”可进入《几何画板》使用实例视频教程（622分钟）.本公众号对应的QQ群：178733124(课件制作学习交流群），530471110（魔方数学答疑群）.
您的点赞，给予我的是鼓励！
您的关注，给予我的是信心！
您的分享，给予我的是动力！
如果您想学习几何画板，请详细阅读上述文章末尾的说明.
（本文结束，记得给个点赞哦！）