几何画板解析2017年广东中考倒二（几何背景）

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(2017·广东倒二)如图，AB是⊙O的直径，AB=4×根号3，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB．

（1）求证：CB是∠ECP的平分线；

（2）求证：CF=CE；

（3）当CF:CP=3:4时，求劣弧BC的长度（结果保留π）

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【图文解析】

（1）如下图示，阴影部分为最常见的图形（直角三角形斜边上的高）.

       不难得到：∠1＝∠2＝∠3.

       还存在第二个这样的图形，下图示：

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       也不难得到：∠4＝∠3.

       所以∠2＝∠4，即CB是∠ECP的平分线.

（本题方法多种，解法类似，这里略去）

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（2）如下图示，

       不难证得，∠1＝∠6，又CE⊥AB，CF⊥AF，根据“角平分线的性质”可得CF＝CE.

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（3）结合已知条件“CF:CP=3:4”及与之相关的“CB是∠ECP的平分线”，不难想到可利用“角平分线的性质”找出突破口，如下图示，

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【反思】本题含两最基本且重要的图形，图中可找到很多对（超过10对）三角形相似，由此得到的相关比例式非常多。将本题的已知条件“直径AB＝4×根号3”与“CF:CP=3:4”任意改为其他两个条件（至少一个是“边”的条件），则图中所有的相关元素和结论均可求；同时本图形又具有“旋转相似”的图形构成，因此本题是一道非常典型的可“变式和拓展”的好图和好题。

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