几何画板解析2017年甘肃省兰州倒一（函数相关）
（点击“初中数学延伸课堂”关注)
（2017•兰州）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣1/2x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．
（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；
（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；
（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；
②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求1/2AM+CM的最小值．
【图文解析】
（1）简析：将点A（﹣4，﹣4）和B（0，4）代入抛物线的解析式y=﹣x2+bx+c，可得关于b、c的方程组，解得b=－2，c=4.所以抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+4；
（2）当四边形GEOB是平行四边形时，先作出符合条件的图形，因点的顺序固定，所以答案只有一种，如下图示：
首先先由A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点用待定系数法求出直线AB的解析式，为y=2x+4.
因E是直线AB上的动点，可设E（m，2m+4），如下图示：
得到EG＝yG－yE=(﹣m2﹣2m+4)﹣(2m+4)= ﹣m2﹣4m.
当四边形GEOB是平行四边形时，EG=OB=4，即﹣m2﹣4m =4，解得m=﹣2，所以G（﹣2，4）.
【反思】若题中的条件“四边形GEOB是平行四边形”改为“以G、E、O、B为顶点的四边形是平行四边形”，则答案有多种。其余相关图形如下：
（3）①由已知条件，不难证明∠EAF＝90°，△AEF为直角三角形，所以当以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形时，只有一种可能是四边形AEHF是矩形（点的顺序固定），如下图示：
首先先求出直线AB的解析式为y=2x+4.因E点在直线AB上的动点，所以可设E（a，2a+4），相应地F为（a，﹣1/2a﹣6）（因直线AC：y=﹣1/2x﹣6），
设H（0，p），如下图示，
因EF是矩形AEHF的对角线，所以EM＝FM，得到M（a，3/4a-1）.
同理，又可得到M（－2，－2+1/2p），如下图示，
所以a=﹣2，3/4a-1＝－2+1/2p.解得a=﹣2，p=﹣1.所以E（﹣2，0）．H（0，﹣1）.
②将与本小题无关的点与线（包括抛物线删除——解难题前建议先“清理垃圾”），得到：
半径＝AE的1/2（或AE＝半径的2倍），这与题目“求1/2AM+CM的最小值”中的1/2，显然有必然的联系．
遇到1/2AM+CM常转化为通常的两线段和，进一点转化为“两点之间线段最短”或“垂线段最短”或利用“函数转化为最值问题”，根据题意，本题不宜用函数方法，同时因本题中的动点M是在圆上动，可经常通过“旋转相似”进行转化。
为此，取半径EG（这条半径在OA上）的中点P，连接EM、PM，得到△MEP和△AEM，如下图示：
此时，我们所需要的线段AE＝2×根号5，EM＝半径＝根号5，EP＝半径的1/2，不难得到：EM：AE＝EP：EM，又∠AEM＝∠AEM，所以△MEP∽△AEM，从而得到PM：AP＝相似比＝1/2，得到PM＝1/2AM，成功转化.
“求1/2AM+CM的最小值”就转化为“求PM+CM的最小值”，由于P、C均是定点，且M点在⊙E上运动，根据“两点之间线段最短”（或三角形的三边关系），不难得到：当M落在PC与⊙E的交点上时，PM+CM最小.如下图示：
因此，所求1/2AM+CM的最小值，就是PM+CM的最小值＝PC的长.
前面已经证过∠CAE＝900，同时：
【反思】注意体会第3小题中的“1/2”的转化，其中“旋转相似”（动点在圆上动）、“平移相似”或“对称相似”是解决此类问题的常见方法．
扫描下面二维码，关注或分享本公众号：zzdyunke(初中数学延伸课堂). 添加关注后，进入公众号，输入数字“8”可进入本人的云课网（优思数学）的详细目录（已经有1200多个初中数学教学视频），输入数学“1”可进入《几何画板》使用实例视频教程（622分钟）.本公众号对应的QQ群：178733124(课件制作学习交流群），530471110（魔方数学答疑群）.
您的点赞，给予我的是鼓励！
您的关注，给予我的是信心！
您的分享，给予我的是动力！
如果您想学习几何画板，请详细阅读上述文章末尾的说明.
（本文结束，记得给个点赞哦！）