几何画板解析2017年甘肃省张掖市倒一（函数相关）
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（2017·甘肃张掖市倒一）如图，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点B（﹣2，0），点C（8，0），与y轴交于点A．
（1）求二次函数y=ax2+bx+4的表达式；
（2）连接AC，AB，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；
（3）连接OM，在（2）的结论下，求OM与AC的数量关系．
【图文解析】
（1）简析：只需将点B、点C的坐标分别代入y=ax2+bx+4可得关于a、b的方程组，即可得到a、b的值。答案为：
y=1/4x2+3/2x+4.
（2）由于A（0，4）、B（－2，0），C（8，0），不难得到OA＝4，BC＝10，设点N的坐标为（n，0）（﹣2＜n＜8），则BN=n+2，CN=8﹣n．如下图示，
法一：先求S△ABN＝0.5×(n+2)×4＝2n+4,
由于A、M、B三点共线，所以S△AMN：S△ABN＝AM：AB，另一方面由NM∥AC可得AM：AB＝（8－n）：10，所以S△AMN：S△ABN＝（8－n）：10，化简，得：
因﹣1/5＜0，当n=3时，即N（3，0）时，△AMN的面积最大.
法二：由A（0，4）和C（8，0）先求出直线AC的解析式为y=－1/2x+4，再
由A（0，4）和B（－2，0）求出直线AC的解析式为y=2x+4.
因为NM∥AC，所以可设直线MN的解析式为y=－1/2x+b，将点N（n，0）代入，1/2n+b＝0，解得b=1/2n，所以直线MN的解析式为y=－1/2x+1/2n＝－1/2（x－n）.如下图示：
所以，S△AMN＝S△ABN－S△BMN＝0.5×BN×OA－0.5×BN×MN＝0.5×BN×(OA－MN)＝0.5(n+2)[4－(2n+4)/5]＝……=－1/5(n－5)2+5. 下同.
【反思】虽然第二种方法较繁，但两种解法都是常用的解题思路.
（3）由（2）得N（3，0），此时N为BC边的中点，如下图示：
由NM∥AC可得：AM：BM＝CN：BN＝1：1，即AM＝BM.
在Rt△AOB中，由AM＝BM可得，OM＝1/2AB.如下图示：
分别在Rt△AOB和Rt△AOC中，由勾股定理，可得AB＝2×根号5，AC＝4×根号5，所以AB＝1/2AC。如下图示：
（当然也可用相似来证AB＝1/2AC）.
所以OM＝1/4AC.
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