几何画板解析2017年广东省深圳倒二（几何背景）
（点击“初中数学延伸课堂”关注)
（2017•深圳倒二）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是弧CBD上任意一点，AH=2，CH=4．
（1）求⊙O的半径r的长度；
（2）求sin∠CMD；
（3）直线BM交直线CD于点E，直线MH交⊙O于点N，连接BN交CE于点F，求HE•HF的值．
【图文解析】
（1）简析：
方法一：如下图示，
在Rt△COH中，由勾股定理，得：r2=42+（r﹣2）2，解得：r=5．
方法二：如下图示，
不难得到∠A＝∠1。分别在Rt△ACH和Rt△BCH中，由tan∠A＝CH/AH＝CH/BH＝tan∠1得：4：2＝（2r－2）：4，解得r=5.
方法三：如下图示，
通过△ACH∽DBH，得到AH：DH＝CH：BH，即2/4＝4/（2r－2）…….
（2）如下图示，点M在运动过程中，∠CMD的度数始终保持不变。
由于∠CMD无法确定具体的度数， 因此要求sin∠CMD的值，必须建立一个含“与∠CMD相等”的角的直角三角形，然后通过三角函数的定义求出。
法一：根据圆周角定理和相关结论，可添加如下图所法的辅助线，得到直角.
不难证明sin∠CMD＝sin∠CPD.同时在Rt△CPD中，sin∠CPD＝CD/PD，如下图示：
所以sin∠CMD=sin∠COA=4/5.
法二：根据圆周角定理，可以将∠CMD转化为圆心角，如下图示：
由CD⊥AB，AB为直径，根据垂径定理和等腰三角形的性质，不难得到∠CMD=0.5∠COD=∠AOC.所以sin∠CMD=sin∠COA=CH/OC=4/5.如下图示：
（3）如下图示，
本题图形繁杂，务必分清哪些是我们所需要的线，同时我们要求的是“HE•HF的值”是一个乘积式，这种形式的值的求法往往通过“相似”或“面积”或“函数”等转化，显然本题后两种解决起来困难重重，因此通过“相似”转化为“比例式”，如下图示：
不难证明△MHE∽△FHN，得到HE/HN=HM/HF，根据比例性质，可得到HE•HF=HM•HN(这时已经转化到圆中的相关线段的乘积形式).
类似地，继续将HM•HN转化其他乘积式(往已知方向转化)，如下图示，
不难证明△AMH∽△NBH，得到HE/HN=HM/HF，根据比例性质，可得到AH•BH=HM•HN.
综上所述，可得：HE•HF=AH•BH=2×8=16.
【反思】常用“相似”将“乘积式”转化为“比例式”的数学思想是解决相似相关问题的重要方法，解题时，可尽量将未知量(或所求的量)往已知图形或已知量方向进行转化．
扫描下面二维码，关注或分享本公众号：zzdyunke(初中数学延伸课堂). 添加关注后，进入公众号，输入数字“8”可进入本人的云课网（优思数学）的详细目录（已经有1200多个初中数学教学视频），输入数学“1”可进入《几何画板》使用实例视频教程（622分钟）.本公众号对应的QQ群：178733124(课件制作学习交流群），530471110（魔方数学答疑群）.
您的点赞，给予我的是鼓励！
您的关注，给予我的是信心！
您的分享，给予我的是动力！
如果您想学习几何画板，请详细阅读上述文章末尾的说明.
（本文结束，记得给个点赞哦！）