几何画板解析2017年甘肃省天水倒一（函数相关）
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(甘肃·天水倒一)如图所示，在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．
（1）求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴；
（2）求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；
（3）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为5/4，求a的值；
（4）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
【图文解析】
（1）简析：基础常规题，当y=0时，ax2﹣2ax﹣3a=0，因式分解，得a(x+1)(x-3)=0，解得：x1=﹣1，x2=3，所以A（﹣1，0），B（3，0）.
显然A、B两点为对称点，因此对称轴为直线x=（－1+3）/2＝1.
【拓展】若抛物线过（m,k）和(n,k)，则其对称轴为直线x＝(m+n)/2.
（2）过D点作DE⊥x轴于E点，因C(0，b)，则OC＝－b，如下图示，
由OC‖DE，不难证得：OE:OA＝CD:AC＝3:1，OC:DE＝AC:AD＝1:5，且由A（-1，0）得OA＝1，所以OE＝4，DE＝5OC＝-5b，得D（4，5b）.
直线l：y=kx+b过A（﹣1，0），则0=﹣k+b得k=b，所以直线l为y=bx+b.
又因D点也抛物线上，将D（4，5b）代入抛物线解析式，得：
5b=a×42﹣2 a×4﹣3 a（a＜0），解得：b=a. 所以，直线l的函数表达式为y=ax+a；
（3）过E作EF∥y轴交直线l于F，如下图示，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），
则F（x，ax+a）.
得到EF=yE－yF=……＝ax2﹣3ax﹣4a.
所以S△ACE=S△AFE﹣S△CEF=0.5EF×h1－0.5EF×h2＝0.5EF×(h1－h2)＝0.5EF×OA＝0.5EF＝0.5(ax2﹣3ax﹣4a).
配方，得：
S△ACE＝0.5a(x﹣3/2)2﹣25/8a.
所以△ACE的面积的最大值=﹣25/8a，
又△ACE的面积的最大值为5/4，
所以﹣25/8a =5/4，解得a=﹣2/5.
当然，当直线EF“穿过”三角形ACE的内部，S△ACE=S△AFE＋S△CEF＝0.5EF×(h1－h2)＝0.5EF×OA，上述结论仍然成立，如下图示：
【反思】面积求法有多种，这是最便捷的一种，但不论哪一种，思路均为“斜化直”及转化为易求图形的面积的和差。
（4）假设存在，作出符合题意的图形，
①若AD是矩形ADPQ的一条边，
如下图示，
当AQPD为矩形时，根据“直角”可以得到相关常见基本图形及辅助线，如下图示：
把x=－4代入抛物线解析式，可得到点Q的坐标为（－4，21a）.
进一步地，
如下图示，由勾股定理得：
AQ2＝32+(－21a)2，AD2＝52+(－5a)2，DQ2＝82+(－16a)2.
在Rt△DAQ中，由勾股定理，得：
AQ2+AD2＝DQ2，即：32+(－21a)2+52+(－5a)2＝82+(－16a)2.
②若AD是矩形APDQ的对角线，如下图示，
如上图，由勾股定理得：AQ2＝32+(－3a)2，AD2＝52+(－5a)2，DQ2＝22+(－8a)2.
在Rt△DAQ中，由勾股定理，得：
AQ2+DQ2＝AD2，即：32+(－3a)2+22+(－8a)2＝52+(－5a)2.
【反思】第3小题解题的关键是：尽可能作出符合条件的图形，再充分利用条件中的“直角”建立相似或全等关系。
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