真题解析2017年河北倒一（函数应用）
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(2017·河北)某厂按用户的月需求量x (件)完成一种产品的生产，其中x>0．每件的售价为18万元，每件的成本y (万元)是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x (件)成反比．经市场调研发现，月需求量x与月份n (n为整数，1≤n≤12)符合关系式x=2n2－2kn+9(k+3)( k为常数)，且得到了表中的数据．
(1)求y与x满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元；
(2)求k，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；
(3)在这一年12个月中，若第m个月和第m+1个月的利润相差最大，求m．
图文解析：
（1）由“每件的成本y (万元)是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x (件)成反比”可设基础价为a万元，浮动价为b/x万元，其中a和b为非0的常数，则y=a+b/x．将表格中的数据（即当x=11时y=120, 当x=12时y=100）代入，得到：
若利润是12万元，根据“利润＝售价－成本”，可得：12＝18－（6+600/x），整理，得600/x=0，这显然是不可能的（∵x＞0，∴600/x＞0），因此一件产品的利润不可能是12万元.
（2）由“月需求量x与月份n (1≤整数n≤12)符合关系式x=2n2－2kn+9(k+3)( k为常数)”，并结合表格：
将相关数据（当n=1时，n＝120，当n=2时，n＝100）代入,因只有一个常数k，因此只需将一对数值代入，另一对数值必须验证才可。
如将n=1时，n＝120代入，得：
120=2-2k+9k+27.解得k=13.
此时，x=2n2－26n+144
再将n=2，x=100代入上式，通过验证，也也符合.
∴k=13.且x=2n2－26n+144.
其次，要解决“是否存在某个月既无盈利也不亏损”，可先求得当利润为0（y=0）时的月需求量x的值（利用第（1）题所求的关系式y=6+600/x）.再将x的值代入上式（x=2n2－26n+144），如果能求出x的值且符合题意，就说明存在符合条件的月份，否则就不存在.解答如下：
（3）设第n个月的利润为w(万元)，结合（1）和（2）（即：y=6+600/x和x=2n2－26n+144）可得：
w=x(18-y)=x[18-(6+600/x)]=12x-600=12×(2n2－26n+144)－600
整理，得：w=24(n2 -13n+47).
同时，1≤n≤12且n为整数.
所以第m个月的利润为：
w1=24(m2 -13m+47)
同时1≤m≤12且m为整数.
第m+1个月的利润分别是：
w2=24[(m+1) 2 -13(m+1)+47)]
＝24(m2 -11m+35).
同时1≤m≤12且m为整数.
利润差为：当w2≥w1时，w2－w1＝24(m2 -11m+35)-24(m2 -13m+47)＝48（m-6）.此时，因1≤m≤12且m+1≤12，m为整数，所以当m＝11时，利润差w2－w1最大.
（w2－w1＝48m-288是关于m的一次函数，又-48<0, w1－w2随m的增大而减增大） ,当w2＜w1时， w1－w2＝48（6-m）.此时，因1≤m≤12且m+1≤12，m为整数，
所以当m＝1时，利润差w1－w2最大.（w1－w2＝-48m+288是关于m的一次函数，又-48<0, w1－w2随m的增大而减小）
综上所述，m=1或m=11.
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