几何画板解析2017年广东省广州市倒一（几何背景）
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（2017•广州）如图，AB是⊙O的直径，弧AC=弧BC，AB=2，连接AC．
（1）求证：∠CAB=45°；
（2）若直线l为⊙O的切线，C是切点，在直线l上取一点D，使BD=AB，BD所在的直线与AC所在的直线相交于点E，连接AD．
①试探究AE与AD之间的是数量关系，并证明你的结论；
②EB/CD是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
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【图文解析】
（1）简析：450的角，很自然联想到“等腰直角三角形的两锐角”或“直角的一半”等。
法一：如下图示，由弧AC=弧BC得∠AOC＝∠BOC＝1800/2＝900，又根据“圆周角定理”知：∠CAB＝1/2∠BOC＝900/2＝450（或根据等腰三角形的性质：OA＝OC，∠CAB=∠CBA=900/2＝450）.
法二：如下图示，连接BC，由AB是⊙O的直径，得∠ACB=90°，又由弧AC=弧BC，得AC=BC，所以∠CAB=∠CBA=(1800-900)/2＝450.
（2）根据“点D的位置”不同，可分为下列两种情况：
第一种情形：
当D在C左侧(即∠ABD为锐角)时，如下图示，
首先，根据切线的性质和等腰直角三角形的性质不难证明CD∥AB。如下图示：
其次，由BD=AB(是直径)=2OC(与半径相关联)=2×半径……，由此可大胆地猜想：如果将“这种关系”在同一三角形(尤其是直角三角形)中构造出来，结合三角函数的定义，又可得到：角之间的相关结论；如下图示，
易证四边形OCDF是矩形，得DF=OC(设半径为R)，而BD=AB=2R，在Rt△BDF中，由sinB=R/2R=1/2，得到∠B=300.
或：
类似上述思路可证得∠BDF=300，进一步得到∠ABD=300.
现在回到△ABD中，不难得到(如下图示)：
同时，根据“三角形的一个外角可以等两个不相邻的内角和”又可得到：
因此，∠ADE=∠AED=750，所以AD=AE，如下图示：
至此，第①小题得到解决。
第二种情形：
当D在C右侧(即∠ABD为钝角)时，如下图示，
类似第一种情形，简析如下：
从而∠E=∠ADE=150，因此AD=AE.
下面，分析第②小题
第一种情形：
当D在C左侧(即∠ABD为锐角)时，如下图示，
从上面的分析，可以发现AB∥CD，∠B=∠CAD=300，因此可以得到与CD、BE相关的多对两三角形相似，而CD、BE又与半径有密切的联系.
可先考虑△CAD和△BAE，如下图示，
得到△CAD∽△BAE，所以CD：AE=AC：AB=1：根号2，得到：
现回到△ABE，如下图示，
具备三个元素，显然△ABE可通过 “添加高线转化为直角三角形”可解(用a的式子表示)，即可求得BE的长(用a表示).
在不影响两特殊角的情况下，可通过E点添垂线段，如下图示：
得到BE=2a=2CD.
所以BE：CD=2.
第二种情形：
当D在C右侧(即∠ABD为钝角)时，如下图示，
类似第一种解法，简析如下：
【反思】本题有多对三角形相似，由此得到的比例式非常丰富。如下图示：
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